大学物理波动方程

条件§8.4波动方程一、机械波的产生二、横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。波源：作机械振动的物体｛横波：纵波：机械波:机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。弹性介质：承担传播振动的物质波的传播方向特点：具有波峰和波谷横波质点的振动方向纵波波的传播方向质点振动方向特点：具有疏密相间的区域下面以横波为例观察波的形成过程0t静止123456789101112134Tt12345678910111213振动状态传至42Tt12345678910111213振动状态传至743Tt振动状态传至1012345678910111213Tt振动状态传至1312345678910111213结论(1)波动中各质点并不随波前进；(2)各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；(3)波动曲线与振动曲线不同。波面和波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。波面:沿波的传播方向作的有方向的线。柱面波在各向同性均匀介质中，波线⊥波面。波线:波前:在某一时刻，波传播到的最前面的波面。注意xyz波面波线球面波波面波线波面波线平面波同一波线上相邻两个相位差为2的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。波长反映了波的空间周期性。三、波长周期频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为T1振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为Tu:）波长（:）周期（T:）频率（:）波速（u(1)波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。Yul纵波的波速为：(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关。说明Y—固体棒的杨氏模量—固体棒的密度固体既可以传播纵波也可以传播横波Bul液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出固体媒质中传播的横波速率由下式给出：Gut—固体的切变弹性模量G—固体密度—流体的容变弹性模量B—流体的密度稀薄大气中的纵波波速为pMRTul—气体摩尔热容比M—气体摩尔质量R—气体摩尔常数三、简谐波的波动方程波面为平面的简谐波介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。平面简谐波平面简谐波说明简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。简谐波:)cos(0tAyoyxxuPO简谐振动从时间看,P点t时刻的位移是O点uxt简谐振动)cos(tAy平面简谐波的波函数时刻的位移;])(cos[),(0uxtAtxyP从相位看，P点处质点振动相位较O点处质点相位落后ux若])(cos[),(0uxtAtxyP为任意点])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxy其它形式由波函数可知波的传播过程中任意两质点x1和x2振动的相位差为)(])([])([210102xxuuxtuxtx2x1,Δ0，说明x2处质点振动的相位总落后于x1处质点的振动；讨论u实际上是振动相位的传播速度。t1时刻x1处的振动状态经Δt时间传播到x1+Δx处，则)()(1111uxxttuxt可得到txu若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程:])(cos[),(0uxtAtxy])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxy其它形式如图，在下列情况下试求波动方程：)]81(π4cos[tAyA(3)若u沿x轴负向，以上两种情况又如何？例(1)以A为原点；(2)以B为原点；BA1xx已知A点的振动方程为：u•(1)在x轴上任取一点P，A点振动方程为：)2π4cos(tAyA)]2)(π4cos[),(uxtAtxy波函数为：解P1xBAx(2)B点振动方程为：)]81(π4cos[)(1uxtAtyB)]2)(π4cos[),(1uxxtAtxy)]2)(π4cos[),(uxtAtxy(3)以A为原点：以B为原点：波动方程:)]2)(π4cos[1uxxtA)]24(π4cos[1uxtA)]24()π(4cos[)(1uxuxtAtyB表示在t1时刻的波形ytot与x都发生变化yxo表示x1处质点的振动方程波动方程的物理意义)])(cos[1uxtAyx=x1（常数）t=t1（常数）)])(cos[1uxtAy表示介质中任何质点在任意时刻的位移已知t1时刻的波形图（紫色），要确定t=t1+Δt时刻的波形图，只须将其沿波的传播方向平移uΔt的距离即可（红色）oytyytut=t1时)])(cos[1uxtAyt=t1+Δt时)])(cos[1uxttAyyy可以证明三维的波动方程为：其中ξ为质点的位移从上两式可得波动方程：波动方程的一般形式)(cosuxtAy)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy222221tyuxy2222222221tuzyxy(m)ox(m)波速u=400m/s,t=0s时刻的波形如图所示。写出波动方程。4p2u35设波动方程为t=0s时刻yo=2m，vo＞0，所以])(cos[uxtAyO点处的质点的位移及速度)cos(4tyo0sin2cos43例解])400(cos[4xt)(sin4tov3同理，对于P点有]3)2401(cos[4typt=0s时刻yP=0，vP＜0，所以0)3240sin(0)3240cos(波动方程为]3)400(200cos[4xty320]3)2401(sin[4tpv23240200y(m)ox(m)4p2u35沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速u=0.5m/s求原点0的振动表达式。x0y0.5-112t=2sut=0由图知5.0m125.0utx2)(2cos5.0uxtyt=0原点0:2)22cos(5.00ty例解1sm5.0m2s4uT1srad22T一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为m)10.050(cos04.0xty)210.0250(π2cos04.0xtym04.0As04.0502Tm2010.02m/s500Tu(1)a.比较法(与标准形式比较）])(π2cos[),(0xTtAtxy标准形式波函数为比较可得例解求(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。π2)10.050(π)10.050(π12xtxts04.012ttTπ2)10.050(π)10.050(π21xtxtm2012xx)10.050(π)10.050(π1122xtxtm/s5001212ttxxu)10.050(πsinπ5004.0xttyvm/smax28.65004.0vm.yA040max振幅波长周期波速(2)ub.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）