大学物理电磁学复习题含答案

题8-12图8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2解:如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，两面间，nE)(212101面外，nE)(212102面外，nE)(21210n：垂直于两平面由1面指为2面．8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．解:将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．(1)球在O点产生电场010E，球在O点产生电场'dπ4π3430320OOrE∴O点电场'd33030OOrE；(2)在O产生电场'dπ4d3430301OOE球在O产生电场002E∴O点电场003E'OO题8-13图(a)题8-13图(b)(3)设空腔任一点P相对O的位矢为r，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)则03rEPO，03rEOP,∴0003'3)(3dOOrrEEEOPPOP∴腔内场强是均匀的．8-14一电偶极子由q=1.0×10-6Cd=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N·C-1解:∵电偶极子p在外场E中受力矩EpM∴qlEpEMmax代入数字4536max100.2100.1102100.1MmN8-15两点电荷1q=1.5×10-8C，2q=3.0×10-8C，相距1r=42cm，要把它们之间的距离变为2r=25cm，需作多少功?解:22210212021π4π4ddrrrrqqrrqqrFA)11(21rr61055.6J外力需作的功61055.6AAJ题8-16图8-16如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷0q从O点经过半圆弧移到C解:如题8-16图示0π41OU0)(RqRq0π41OU)3(RqRqRq0π6∴RqqUUqAoCO00π6)(8-17如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O解:(1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取ddRl则ddRq产生O点Ed如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向题8-17图cosπ4dd2220RREEyR0π4［)2sin(2sin］R0π2(2)AB电荷在O点产生电势，以0UAB200012lnπ4π4dπ4dRRxxxxU同理CD产生2lnπ402U半圆环产生0034π4πRRU∴0032142lnπ2UUUUO8-18一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C)解:设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强rE0π2电子受力大小reeEFe0π2∴rvmre20π2得1320105.12π2emv1mC8-19空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm解:平行板电容器内部近似为均匀电场∴4105.1dEUV8-20根据场强E与电势U的关系UE，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子qlp的lr处(见题8-20图)解:(1)点电荷rqU0π4题8-20图∴0200π4rrqrrUE0r为r方向单位矢量．(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势220π4xRqU∴ixRqxixUE2/3220π4(3)偶极子lqp在lr处的一点电势200π4cos])cos21(1)cos2(1[π4rqlllrqU∴30π2cosrprUEr30π4sin1rpUrE8-21证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)证:如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1，2，3，4题8-21图(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有0)(d32SSEs∴203说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201又∵203∴14说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．8-22三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?解:如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为1，右侧面电荷面密度为2题8-22图(1)∵ABACUU，即∴ABABACACEEdd∴2dd21ACABABACEE且1+2SqA得,32SqASqA321而7110232ACqSqCC10172SqB(2)301103.2ddACACACAEUV8-23两个半径分别为1R和2R（1R＜2R)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q(1)(2)*(3)解:(1)内球带电q；球壳内表面带电则为q,外表面带电为q，且均匀分布，其电势题8-23图22020π4π4ddRRRqrrqrEU(2)外壳接地时，外表面电荷q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q．所以球壳电势由内球q与内表面q产生：0π4π42020RqRqU(3)设此时内球壳带电量为q；则外壳内表面带电量为q，外壳外表面带电量为qq(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且0π4'π4'π4'202010RqqRqRqUA得qRRq21外球壳上电势22021202020π4π4'π4'π4'RqRRRqqRqRqUB8-24半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为Rd3处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．解:如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q，则球接地时电势0OU8-24图由电势叠加原理有：OU03π4π4'00RqRq得q3q8-25有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F．试求：(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2解:由题意知2020π4rqF(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电2qq,小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电qq43∴此时小球1与小球2间相互作用力00220183π483π4'2FrqrqqF(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为32q.∴小球1、2间的作用力00294π432322FrqqF*8-26如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势AU=U，BU=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．解:依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1，2，3，4,5,6如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持UUAB可得以下6个方程题8-26图6543215432065430021001dUSqSqdUUCSSqBA解得Sq261SqdU2032SqdU2054所以CB间电场SqdUE00422)2d(212d02SqUEUUCBC注意：因为C片带电，所以2UUC，若C片不带电，显然2UUC8-27在半径为1R的金属球之外包有一层外半径为2R的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r，金属球带电Q．试求：(1)电介质内、外的场强；(2)电介质层内、外的电势；(3)金属球的电势．解:利用有介质时的高斯定理qSDSd(1)介质内)(21RrR场强303π4,π4rrQErrQDr内;介质外)(2Rr场强rdrdrrEEU外内303π4,π4rrQErQrD外(2)介质外)(2Rr电势rQEU0rπ4rd外介质内)(21RrR电势2020π4)11(π4RQRrqr)11(π420RrQrr(3)金属球的电势rdrd221RRREEU外内222020π44πdrRRRrrQdrrQ)11(π4210RRQrr8-28如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．解:如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2E，真空部分场强为1E，自由电荷面密度分别为2与1由0dqSD得11D，22D而101ED,202EDrd21UEE∴rDD1212题8-28图题8-29图8-29两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为1R和2R(2R＞1R)，且l2R-1R，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：(1)在半径r处(1R＜r＜2R＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；(2)电介质中的总电场能量；(3)圆柱形电容器的电容．解:取半径为r的同轴圆柱面)(S则rlDSDSπ2d)(当)(21RrR时，Qq∴rlQDπ2(1)电场能量密度22222π82lrQDw薄壳中rlrQrlrlrQwWπ4ddπ2π8dd22222(2)电介质中总电场能量211222lnπ4π4ddRRVRRlQrlrQWW(3)电容：∵CQW22∴)/ln(π22122RRlWQC*8-30金属球壳A和B的中心相距为r，A和B原来都不带电．现在A的中心放一点电荷1q，在B的中心放一点电荷2q，如题8-30图所示．试求：(1)1q对2q作用的库仑力，2q有无加速度；(2)去掉金属壳B，求1q作用在2q上的库仑力，此时2q有无加速度．解:(1)1q作用在2q的库仑力仍满足库仑定律，即2210π41rqqF但2q处于金属球壳中心，它受合力．．为零，没有加速度．(2)去掉金属壳B，1q作用在2q上的库仑力仍是2210π41rqqF，但此时2q受合力不为零，有加速度．题8-30图题8-31图8-31如题8-