大学物理竞赛辅导――振动与波动

振动与波动主讲教师：惠娟利机械振动一、简谐振动的定义1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称这个物体在作简谐振动或简谐运动。2、两个特例：“弹簧振子”和“单摆”。弹簧振子单摆动力学特征：动力学方程：运动方程：kxfmglsinMmgl222ddxxt222ddtcos()xAt)cos(tA弹簧振子单摆mk/lg/iikk11串iikk并注1：弹簧振子水平放置，竖直放置或放在固定的光滑斜面上都可以做简谐振动。注2：l例1.如图，用六根拉伸的长度均为10cm的弹簧将一质量m为10g的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉力均为5N，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动一下，然后释放，则该物体m振动的频率为___Hz解：xl设物体相对图面的垂直位移为x，弹簧相对面的倾角为θ，物体受弹簧合力(指向图面)为F则：x=lsinθ，F=6fsinθ≈6fθ其中l为弹簧长度，f为一根弹簧拉力2222dd,60ddxmFmlftt由得f阻碍θ的增大，∴f0(1986.二.1)振动频率：6116527.62220.010.1fvHzml例2.质量为m的质点在水平光滑面上,两侧各接一弹性系数为k的弹簧,如图,弹簧另一端被固定于壁上,L为两弹簧自然长度,如使m向右有一小位移后,静止施放,则质点每秒通过原点的次数为______(1987.二.2)kkLL解：质点离开其平衡位置位移为x,所受合力为-2kx.由牛顿定律,其自由振动方程为:2222dd22,0ddxxkmkxxttm即∴其振动频率为：122km质点每秒通过原点为次。12km二、简谐振动的特征量1、振幅A2、角频率（圆频率）ω22Tcos()xAt：质点离开平衡位置的最大距离。vAx22002:2秒内质点的振动数。对弹簧振子：,km1,22kmTmk对单摆：/,gl2lTg1,2gl由振动系统本身的性质决定。由振动系统的初始状态决定。例3.利用单摆测定重力加速度g，已知摆的周期T为2s，测量摆长的相对误差为0.05%，用秒表测量时间的误差约为0.05s，如果要求测量结果g的相对误差小于0.1%，则至少要数_______个周期的摆动。(1985.二.8)解：由于单摆有等时性，摆动周期总相同，因此测定重力加速度可测n个周期时间t=nT来减小测量误差，单摆周期公式2lTg改写成2222244/lnlgttn2222244tlnn/tlg则误差传递公式为：22gltltgltlnT代入已有数据有：2050205010n.%.%.解得：100n(1989.二.1)，同类型的题：(1991.二.12)3、相位（位相，周相）：反映质点的运动状态。t=0时位相值，称初相，(t+)是t时刻的相位，由振动系统的初始状态决定。为方便计，规定：)20(或)cos(tAx注：角频率ω就是相位的变化速率。vx00arctan()4、两个同频率简谐振动的相位差：111cos()xAt222cos()xAt它们的相差为：)()(12tt12（也可写成）21),(2为整若kk两质点振动步调相同(同相)),()12(为整若kk两质点振动步调相反(反相),012若质点2比质点1相位超前△,012若质点2比质点1相位滞后△注1：超前与滞后是相对的。注2：通常将限制在≤π。三、简谐振动的速度和加速度1、位移:)cos(tAx2、速度:dsin()dxvAtt)2cos(tA3、加速度:)cos(dd222tAtxa)cos(2tAmaxvAAa2max为速度振幅；速度比位移的相位超前为加速度振幅；加速度与位移反相。（1）x、v、a周期均为T。（2）v比x超前π/2，a与x反相。x22xa2都是简谐振动txmaxxAtvmaxvAta2maxaA(x-t曲线叫振动曲线)2、t=0时，与x轴正向夹角为。A)cos(tAxOx1、矢量（模与振幅等值)以匀角速度ω(与角频率等值)逆时针旋转。AAM(t=0)x0ωxAM(t)ωt这样,矢量逆时针匀角速度旋转过程中，其端点M在x轴上的投影点坐标为：x=Acos(ωt+)恰为x轴上简谐振动。3、t=t时，与x轴正向夹角为(ωt+)。A四、简谐振动的旋转矢量表示法4、旋转矢量法的应用②已知振动曲线画旋转矢量在任意时刻的位置：xtx①利用旋转矢量制作振动曲线：（1）画图（2）求振动初相（3）求两个简谐振动的相位差（4）两个简谐振动的合成问题五、简谐振动的能量2221d112d22kpxEEEmAkxkAtEk、Ep周期为T/2214kpEEkAxoA-ATttT/2EPEkEAkEpE212EkAAox以水平弹簧振子为例：六、阻尼振动受迫振动共振因受阻力作用振幅不断减小的振动叫阻尼振动。（1）阻尼振动的动力学方程Fkx回复力：由牛二定律：20,2,kmm令2202dd20ddxxxtt动力学方程:其解按β大小有三种情况。ddxfvt阻力：（γ：阻力系数）2222dddd,0ddddxxxxkmkxxtmtmttβ称为阻尼因子。1、阻尼振动振幅按指数规律衰减的振动，不是周期运动，是往复运动。（2）阻尼振动的运动学特征xttteCeCx)(2)(1202202xtβω0无往复性,经较长时间单调返回平衡位置。tetCCx)(21无往复性，能很快地返回平衡位置。0220'),'cos(tAextβ=ω0①βω0（欠阻尼状态，如放在水中）③β=ω0（临界阻尼状态如放在甘油中）②βω0（过阻尼状态，如放在沥青中）例4.一个弹簧振子的质量为1.0kg，自由振动的本征频率为2Hz，当存在某个大小与振子速率成正比的阻尼力时，恰好处于临界阻尼振动状态，则弹簧的劲度系数K=————N/m，阻尼力大小与速率的比例系数=————kg/s。解：已知m=1.0kg，ν0=2Hz，0ωβ临界阻尼振动条件mKω2022020)22(0.1)2(πvπmωmK158()NmmKωβmγ22202γ2Km)(1.2580.1162skgππ(十七届.一.4)例5.水平弹簧振子系统中，弹簧的劲度系数为k，振子质量为m，水平运动阻力大小与振子运动速率成正比，比例系数为，振子的运动方程_____，形成低阻尼振动的条件是_______。解：将牛顿第二定律用于振子，得kxxmx0kxxxmm202,,kmm令有(2001.一.1)2020xxx形成低阻尼振动的条件为：2022()2kmm2mk2、受迫振动系统受力：弹性力-kx振动方程：周期性策动力F=F0cost：在外来策动力作用下的振动22ddddxxmkxCFtt22002dd2cosddxxxfttt000,,2FkCfmmm（）阻尼力ddxCt稳态解:x=Bcos(t+)特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化.(1)频率:等于策动力的频率(2)振幅:(3)初相:0222221/20[()4]fB2202tg例6.固有频率为ν0的弹簧振子，在阻尼很小的情况下，受到频率为2ν0的余弦策动力作用，作受迫振动并达到稳定状态，振幅为A。若在振子经平衡位置时撤去策动力，则自由振动的振幅A`与A的关系是__________.稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为ω＝2(2ν０)，解：A`=2A经平衡位置时速度最大为:V=ωＡ。撤去策动力后，速度仍为V，做自由振动，其圆频率ω`＝２ν0，仍有关系V=ω`A`∴ωA=ω`A`,A`=ω/ω`A=2A(1996.一.2)3、共振在一定条件下,振幅出现极大值,出现剧烈振动的现象。①共振频率:②共振振幅:（1）位移共振d0dB22r020r2202fB0222221/20[()4]fB（2）速度共振速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。（参考教材P161-162）cos2212221AAAAA七、一维简谐振动的合成1、同方向、同频率的两个简谐振动的合成2A1A21xyoAωx11cosA22cosA11sinA22sinA22112211coscossinsinarctanAAAA111cos()xAt222cos()xAtx=x1+x2=Acos(t+)两种特殊情况：（1）,2,1,0212kk12,AAA若A1=A2，A=2A1，（2）若A1=A2，A=0。称为干涉相消。12||,AAA称为干涉相长。,2,1,0)12(12kk2、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成拍11cos()xAt22cos()xAt为简化问题，设两谐振动的振幅和相位都相等。x=x1+x221212cos()cos()22Att合振动不是简谐振动。当21时，2-12+10()cos()xAtt随ｔ缓变；随ｔ快变。合振动可看作振幅缓变的“简谐振动”。21cos()cos()2tt210()2cos()2AtAtxtx2tx1t拍拍频:单位时间内强弱变化的次数。合振动的强弱A02(t)随t变化的现象－拍(beat)设拍周期为Tb实例：双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音(钢琴与标准音叉声波形成拍—拍频越小，说明钢琴的音越准)。21212cos()cos()22xAtt210()2cos()2AtAt2121b2cos()2cos22AtTAt21bπ2Tb212πT21b1/2πT213、两个同频率相互垂直的简谐振动的合成x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)消去时间，22221212212122cos()sin()xyxyAAAA得合运动的轨迹方程：（1）合运动一般是在2A1(x向)、2A2(y向)范围内的一个椭圆；（2）椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在A1、A2确定之后,主要决定于=2-1。·=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P.22221212212122cos()sin()xyxyAAAA222xyxy22xyxy2cossinxyxyAAAA设振幅Ax=Ay，位相差,......,,k,kyx210212则上式表示的合振动就是圆周运动：222xyA例7.两个线振动合成一个圆运动的条件是———————————————(1984.二.2)答案：同频率；同振幅；两振动互相垂直；位相差为k=0，±1，±2，……212k4、两个不同频率相互垂直简谐振动的合成（1）两分振动频率相差很小=(2-1)t+(2-1)可看作两频率相等而位相差随ｔ缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹称为李萨如图形(Lissajousfi