2018-2019北京市高三上学期期末考试数学压轴题汇编

（2018-2019丰台高三期末理20）20．（本小题13分）将mn阶数阵111212122212,,,,,,,,,nnmmmnaaaaaaaaa记作{}ijmna（其中，当且仅当,isjt时，ijstaa）.如果对于任意的1,2,3,,im，当12jj时，都有12ijijaa，那么称数阵{}ijmna具有性质A.（Ⅰ）写出一个具有性质A的数阵34{}ija，满足以下三个条件：①114a，②数列1{}na是公差为2的等差数列，③数列1{}ma是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵{}ijmna的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的mn阶数阵，记作数阵{}ijmnb.试判断数阵{}ijmnb是否具有性质A，并说明理由.20．（共13分）解：（Ⅰ）4,6,8,102,3,5,71,9,11,12（答案不唯一）....………….4分（Ⅱ）数阵{}ijmnb具有性质A.只需证明，对于任意的1,2,3,,in，都有(1)ijijbb，其中1,2,3,,1jn.下面用反证明法证明：假设存在(1)pqpqbb，则(1)(2),,,pqpqmqbbb都大于(1)pqb，即在第q列中，至少有1mp个数大于(1)pqb，且(1)(1)(1)2(1)1(1)pqpqqqbbbb.根据题意，对于每一个(1)(1,2,,)tqbtp，都至少存在一个tiqa(1,2,3,,)tim，使得(1)tiqtqab，即在第q列中，至少有p个数小于(1)pqb.所以，第q列中至少有11mppm个数，这与第q列中只有m个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵{}ijmnb具有性质A....………….13分（2018-2019海淀高三期末理20）（20）（本小题满分13分）设n为不小于3的正整数，集合12{(,,,)|{0,1},1,2,3,,}nnixxxxin,对于集合n中的任意元素12(,,,)nxxx，12(,,,)nyyy，记11112222()()()nnnnxyxyxyxyxyxy.(Ⅰ)当3n时，若(1,1,0)，请写出满足3的所有元素；(Ⅱ)若n，，且n，求的最大值和最小值；（Ⅲ）设S是n的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，，有1n成立，求集合S中元素个数的最大值.20.解：(Ⅰ)满足3的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)（Ⅱ）记12(,,,)nxxx，12(,,,)nyyy，注意到{0,1}ix，所以(1)0iixx，所以11112222()()()nnnnxxxxxxxxxxxx12nxxx12nyyy因为n，所以1212nnxxxyyyn所以1212,,,,,,,nnxxxyyy中有n个量的值为1，n个量的值为0.显然111122220()()()nnnnxyxyxyxyxyxy1122nnxyxyxyn，当(1,1,,1)，(0,0,,0)时，，满足n，n.所以的最大值为n又11112222()()()nnnnxyxyxyxyxyxy1122()nnnxyxyxy注意到只有1iixy时，1iixy，否则0iixy而1212,,,,,,,nnxxxyyy中n个量的值为1，n个量的值为0所以满足1iixy这样的元素i至多有2n个，当n为偶数时，22nnn.当22(1,1,,1,0,0,,0)nn个个时，满足n，且2n.所以的最小值为2n当n为奇数时，且1iixy，这样的元素i至多有12n个，所以1122nnn.当1122(1,1,,1,0,0,,0)nn个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)nn个个时，满足n，12n.所以的最小值为12n综上：的最大值为n，当n为偶数时，的最小值为2n，当n为奇数时，12n.（Ⅲ）S中的元素个数最大值为222nn设集合S是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S1212(,,,)|1,nnxxxxxxnS，21212(,,,)|2,nnSxxxxxxnS显然1212SSSSS，集合1S中元素个数不超过1n个，下面我们证明集合2S中元素个数不超过2nC个212,(,,,)nSxxx，则122nxxxn则12nxxx，，，中至少存在两个元素0ijxx212,(,,,)nSyyy，因为1n，所以,ijyy不能同时为0所以对1ijn中的一组数,ij而言，在集合2S中至多有一个元素12(,,,)nxxx满足ijxx，同时为0所以集合2S中元素个数不超过2nC个所以集合S中的元素个数为至多为22212nnnnC记1T1212(,,,)|1,nnnxxxxxxn，则1T中共1n个元素，对于任意的1T，n，1n.对1ijn，记,12(,,,),ijnxxx其中0ijxx，1tx，,titj记2,{|1}ijTijn，显然2,S，，均有1n.记12STT，S中的元素个数为21nn，且满足,S，，均有1n.综上所述，S中的元素个数最大值为222nn.（2018-2019东城高三期末理20）(20)（本小题14分）对给定的dN，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}nnndaaaadnN.（Ⅰ）若数列{}Ω(2)na，写出3a的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d，若2d≥.求证：存在整数k，使得对Ω()d中的任意数列{}na，整数k不是数列{}na中的项；（Ⅲ）已知数列{}na，{}nb()d，记{}na，{}nb的前n项和分别为,nnAB.若11nnab，求证：nnAB≤.（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)na，即2d，11.a由已知有21123aad，所以23a，3222aada，将23a代入得3a的所有可能取值为5,1,1,5...............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()nnadamdmZ若数列则具有的形式.，①当1n时，101ad，因此1n时结论成立.②假设当nkkN（）时结论成立，即存在整数0m，使得001kamd成立.当1nk时，1000001(1)1kamddmd，10(1)1kamd，或10(1)1.kamd所以当1nk时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()nad，nnaN对任意，具有1()mdmZ的形式.由于na具有1()mdmZ的形式，以及2d，可得na不是d的整数倍.故取整数kd，则整数k均不是数列{}na中的项..............................9分（Ⅲ）由1nnaad可得：22212.nnnaaadd所以有22212nnnaaadd，222112nnnaaadd，2221222nnnaaadd，2222112.aaadd以上各式相加可得22112nnadnSd，即22221111..2222nnnnabndndABdddd同理当11nnab≤时，有22+1+1nnab≤，由于dN，所以22+1122nnabdd≤，于是222211112222nnabndnddddd≤，.nnAB即成立.............................14分（2018-2019西城高三期末理20）20．（本小题满分13分）设正整数数列12,,,(3)NAaaaN：满足ijaa，其中1ijN≤≤.如果存在{2,3,,}kN，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称为“k阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N为偶数，证明：数列1,2,3,,AN：不是“k阶平衡数列”，其中{2,3,,}kN.（Ⅲ）如果2019Na≤，且对于任意{2,3,,}kN，数列均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.AA（2018-2019石景山高三理20）20.（本小题13分）将1至2n这2n个自然数随机填入nn方格的2n个方格中，每个方格恰填一个数（*2,nnN≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)nn个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1nn；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1nn．20.（本题13分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）（前两问答案不唯一，请酌情给分）（Ⅲ）不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为()CA,考虑含n+1个元素的集合2222{1,2}Bnnnnn，，，，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为212xxn≤也必有至少两个数处于同一列，设为212yyn≤.①若211max(,)1xynn≥则有222111()max(,)1nnnCAxynnn≤≤（因为33+1nn）.②若211max(,)1xynn，即211xynn，则22xy，222min(,)1xyn≤．所以22222min(,)1(1)(1)1()(1)xynnnnCAnnnnnnn≤≤.1234此填数法的“特征值”为.3214此填数法的“特征值”为.或714582369…3分…7分即不论何种情况，总有1()nCAn≤.…13分（2018-2019朝阳高三期末理20）20.（本小题满分13分）已知12,,,,naaa是由正整数组成的无穷数列，对任意nN，na满足如下两个条件：①na是n的倍数；②15nnaa.（Ⅰ）若130a，232a，写出满足条件的所有3a的值；（Ⅱ）求证：当11n时，5nan；（Ⅲ）求1a所有可能取值中的最大值.20.（本小题满分13分）（Ⅰ）3a的值可取27,30,33,36..…………3分（Ⅱ）由151,2,nnaan，对于任意的n，有15(1)nana.当14na时，15(1)nana，即5(1)4nann，即61nan.则6nan成立.因为na是n的倍数，所以当14na时，有5nan成立.若存在n使5nan，依以上所证，这样的n的个数是有限的，设其中最大的为N.则5NaN,15(1)NaN成立，因为Na是N的倍数，故6NaN.由+1565(1)5NNaaNNN,得10N.因此当11n时，5nan.…………8分（Ⅲ）由上问知1155a，因为+15nnaa且na是n的倍数，所以1091,,,aaa满足下面的不等式：1060a，963a，864a，763a，666a，570a，472a，375a，280a，185a.则1