2004年考研数学三真题及答案解析

启航考研只为一次考上研天任启航考研年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若5)(cossinlim0bxaexxx，则a=______，b=______.(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)0，则2fuv.(3)设21,12121,)(2xxxexfx，则212(1)fxdx.(4)二次型213232221321)()()(),,(xxxxxxxxxf的秩为.(5)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则}{DXXP_______.(6)设总体X服从正态分布),(21σμN,总体Y服从正态分布),(22σμN,1,,21nXXX和2,,21nYYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则12221112()()2nnijijXXYYEnn.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界.(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[](8)设f(x)在(,+)内有定义，且axfx)(lim，0,00,)1()(xxxfxg，则(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.[](9)设f(x)=|x(1x)|，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[](10)设有下列命题：启航考研只为一次考上研天任启航考研(1)若1212)(nnnuu收敛，则1nnu收敛.(2)若1nnu收敛，则11000nnu收敛.(3)若1lim1nnnuu，则1nnu发散.(4)若1)(nnnvu收敛，则1nnu，1nnv都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).[](11)设)(xf在[a,b]上连续，且0)(,0)(bfaf，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点),(0bax，使得)(0xff(a).(B)至少存在一点),(0bax，使得)(0xff(b).(C)至少存在一点),(0bax，使得0)(0xf.(D)至少存在一点),(0bax，使得)(0xf=0.[D](12)设n阶矩阵A与B等价,则必有(A)当)0(||aaA时,aB||.(B)当)0(||aaA时,aB||.(C)当0||A时,0||B.(D)当0||A时,0||B.[](13)设n阶矩阵A的伴随矩阵,0*A若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组bAx的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.[](14)设随机变量X服从正态分布)1,0(N,对给定的)1,0(α,数αu满足αuXPα}{,若αxXP}|{|,则x等于(A)2αu.(B)21αu.(C)21αu.(D)αu1.[]三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)启航考研只为一次考上研天任启航考研求)cossin1(lim2220xxxx.(16)(本题满分8分)求Ddyyx)(22，其中D是由圆422yx和1)1(22yx所围成的平面区域(如图).(17)(本题满分8分)设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足xaxadttgdttf)()(，x[a,b)，babadttgdttf)()(.证明：babadxxxgdxxxf)()(.(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q=1005P，其中价格P(0,20)，Q为需求量.(I)求需求量对价格的弹性dE(dE0)；(II)推导)1(dEQdPdR(其中R为收益)，并用弹性dE说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19)(本题满分9分)设级数)(864264242864xxxx的和函数为S(x).求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(II)S(x)的表达式.(20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1,Tααα)3,2,1(2,Tbαbα)2,2,1(3,Tβ)3,3,1(,试讨论当ba,为何值时,(Ⅰ)β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ)β可由321,,ααα唯一地线性表示,并求出表示式;(Ⅲ)β可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.启航考研只为一次考上研天任启航考研(21)(本题满分13分)设n阶矩阵111bbbbbbA.(Ⅰ)求A的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得APP1为对角矩阵.(22)(本题满分13分)设A，B为两个随机事件,且41)(AP,31)|(ABP,21)|(BAP,令不发生，，发生，AAX0,1.0,1不发生，发生，BBY求(Ⅰ)二维随机变量),(YX的概率分布;(Ⅱ)X与Y的相关系数XYρ;(Ⅲ)22YXZ的概率分布.(23)(本题满分13分)设随机变量X的分布函数为，，，αxαxxαβαxFβ0,1),,(其中参数1,0βα.设nXXX,,,21为来自总体X的简单随机样本,(Ⅰ)当1α时,求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ)当1α时,求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ)当2β时,求未知参数α的最大似然估计量.启航考研只为一次考上研天任启航考研年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若5)(cossinlim0bxaexxx，则a=1，b=4.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cossinlim0bxaexxx，且0)(cossinlim0bxxx，所以0)(lim0aexx，得a=1.极限化为51)(coslim)(cossinlim00bbxxxbxaexxxx，得b=4.因此，a=1，b=4.【评注】一般地，已知)()(limxgxf＝A，(1)若g(x)0，则f(x)0；(2)若f(x)0，且A0，则g(x)0.(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)0，则)()(22vgvgvuf.【分析】令u=xg(y)，v=y，可得到f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u=xg(y)，v=y，则f(u,v)=)()(vgvgu，所以，)(1vguf，)()(22vgvgvuf.(3)设21,12121,)(2xxxexfx，则21)1(221dxxf.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x1=t，121121221)()()1(dtxfdttfdxxf＝21)21(0)1(12121212dxdxxex.启航考研只为一次考上研天任启航考研【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型213232221321)()()(),,(xxxxxxxxxf的秩为2.【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为213232221321)()()(),,(xxxxxxxxxf323121232221222222xxxxxxxxx于是二次型的矩阵为211121112A,由初等变换得000330211330330211A,从而2)(Ar,即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(xxxxxxxxxf323121232221222222xxxxxxxxx2322321)(23)2121(2xxxxx2221232yy,其中,21213211xxxy322xxy.所以二次型的秩为2.(5)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则}{DXXPe1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX,X的分布函数为.0,0,0,1)(xxexFxλ故}{DXXP}{1DXXP}1{1λXP)1(1λFe1.【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.启航考研只为一次考上研天任启航考研(6)设总体X服从正态分布),(21σμN,总体Y服从正态分布),(22σμN,1,,21nXXX和2,,21nYYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则22121212)()(21σnnYYXXEnjjnii.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为2121])(11[1σXXnEnii,2122])(11[2σYYnEnjj,故应填2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界.(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[A]【分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限)(limxfax与)(limxfbx存在，则函数f(x)在(a,b)内有界.【详解】当x0,1,2时，f(x)连续，而183sin)(lim1xfx，42sin)(lim0xfx，42sin)(lim0xfx，)(lim1xfx，)(lim2xfx，所以，函数f(x)在(1,0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上有界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限)(limxfax与)(limxfbx存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界.(8)设f(x)在(,+)内有定义，