72数学分析与高等代数考研真题详解--北大卷

博士家园考研丛书（2010版）全国重点名校数学专业考研真题及解答数学分析与高等代数考研真题详解北京大学数学专卷博士家园编著博士家园系列内部资料《博士家园数学专业考研丛书》编委会这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从2004年开始大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课昀为重要。有些试题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(),这个互联网平台，征集到了昀新昀全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无闻的广大数学工作者，我们向他们表示昀崇高的敬意！国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成21世纪的数学大国。”每年有上万名数学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更多更新的信息与资源建立了专业网站——博士家园网站。本站力图成为综合性全国数学信息交换的门户网站，旨在为科研人员和数学教师服务，提供与数学研究和数学教学有关的一切有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流的数学科学信息交流中心之一。由于一般的院校可能提供一些往年试题，但是往往陈旧或者没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载昀新试题：博士家园主页网址：博士数学论坛网址：数学资源库:欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：@163.com博士家园二零一零年二月2博士家园系列内部资料数学分析与高等代数考研真题详解北京大学考研数学专卷目录北京大学考研数学专卷...................................................................................................................22001年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题..................................................................22001年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答..........................................................42002年招收硕士研究生入学考试《高等代数》部分试题及解答..............................................82005年招收硕士研究生考试《高等代数与解析几何》试题及解答........................................122005年招收硕士研究生考试《数学分析》试题及解答............................................................182006年招收硕士研究生入学考试《高代解几》试题及解答2006年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题2007年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答2007年招收硕士研究生入学考试《高代解几》试题及解答2008年招收硕士研究生考试《高等代数与解析几何》试题及解答2008年招收硕士研究生考试《数学分析》试题及解答2008年北大复试概率统计试题与解答2009年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题2009年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答2010年招收硕士研究生考试《高等代数与解析几何》试题2010年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答北京大学考研数学专卷2001年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题1．（15分）在空间直角坐标系中，点,,ABC的坐标依次为：()()()2,1,4,2,3,4,1,3,3−−−−−⑴求四面体OABC的体积；⑵求三角形的面积．ABC2．（15分）在空间直角坐标系中，1:123xaylz−==−与2博士家园系列内部资料21:212xyzl−==−是一对相交直线．⑴求a；⑵求绕旋转出的曲面的方程．2l1l3．（12分）设ω是复数域上的本原次单位根（即，Cn1nω=，而当0时，），都是正整数，而且ln1lω≠,sbsn．令()()()()()()()122111121111111nbbbbnbbsnbsbsAωωωωωωωωω−+−++−−+−+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠b+任取，判断线性方程组nCβ∈AXβ=有无解？有多少解？写出理由．4．（18分）⑴设010001231A⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠a．若把A看成有理数域上的矩阵，判断A是否可对角化，写出理由．b．若把A看成复数域上的矩阵，判断A是否可对角化，写出理由．⑵设A是有理数域上的阶对称矩阵，并且在有理数域上nA合同与单位矩阵I．用δ表示元素全为1的列向量，b是有理数．证明：在有理数域上2100TTAbIbbbbAδδδδ−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎞⎟⎠．5．（14分）在实数域上的维列向量空间nnR中，定义内积为(),Tαβα=β，从而nR成为欧几里的空间．⑴．设实数域上的矩阵135221311794A−−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠求齐次线性方程组的解空间的一个正交基．0AX=⑵设A是实数域R上的s矩阵，用W表示齐次线性方程组n×0AX=的解空间，用U表示的列空间（即，的列向量组成的子空间）．证明：UTATAW⊥=．6．（12分）设A是数域K上维线性空间V上的一个线性变换．在n[]Kx中，3博士家园系列内部资料()()()12fxfxfx=，且()()12,fxfx互素．用表示线性变换KerAA的核．证明：()()()12KerfAKerfAKerfA=⊕．7．（14分）设A是数域K上维线性空间V上的一个线性变换，nI是恒等变换．证明：的充要条件是．2A=A()()rArAIn+−=2001年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答∗1．解⑴．由初等几何知，四面体OABC的体积V等于以为棱的平行六面体的体积的六分之一，因此，,,,OAOBOC()1,,6VOAOBOC=；但()()()2,1,4,2,3,4,1,3,3OAOBOC=−=−−−=−，所以()214,,2343133OAOBOC−2=−−−=−−，从而()11,,63VOAOBOC==6．⑵．三角形的面积等于平行四边形面积的一半，ABCABCD()()0,4,8,1,2,1ABAC=−−=−所以，0482084121ijkABACijk×=−−=−+−，从而，2222084430ABAC×=++=，所以，三角形的面积为ABC230．■2．解⑴由直线相交的充要条件为111222101230::::212aXYZXYZ−Δ=−=≠−，，4博士家园系列内部资料解得．8a=⑵显然，点(在上．)0,1,01l)设(112,,Mxyz是母线上的任意点，过M的纬圆方程是()()()()()()()()(1112222200010101220xxyyzz)20xxyyzzxxyyzz−+−−−=⎧⎪⎨−+−+−=−+−+−⎪⎩，又(112,,)Mxyz在母线上，所以，1111212xyz−==−．由以上三式，消去123,,xxx，得旋转曲面为()()()()22222422122142211818181xyzxyzxyzxyz+−−+−−+−−+−+=++2)j，化简得()(22229919221xyzxyz+−+=+−−．■2．解显然当i，且0,时，≠ijn≤≤ijωω≠．考虑前列构成的阶子式，ss()()()()()()()()111112001111101sbbsssbbbibjijsjisjissbsbsDωωωωωωωωωωω−−−++++≤≤≤≤−+−+−==−=∏∏−≠从而s矩阵n×A的秩为，故增广矩阵s()AAβ=的秩也为s，又sn，所以AXβ=有无穷多解，任一解可表为()0111,,nsnsnsXXkXkXkkC−−−=+++∈，其中，0X为任一特解，1,,nsXX−为到出组0AX=的一个基础解系．■4．解⑴．323EAλλλλ−=+−+2．a．把A看作有理数域上的矩阵．先证在有理数域上是不可约的．若不然，则它至少有一个一次因式，也即有有理根．但它的有理根只能为()323fλλλλ=+−+21,2±±，而可以验算这些全不是它的根，因5博士家园系列内部资料而()fλ在有理数域上不可约．另一方面，昀小多项式()()|mfλλ，则()()mfλλ=，从而它在有理数域上不能分解成互素的一次因式的乘积，故把A看作有理数域上的矩阵，A是不可对角化．b．把A看作复数域上的矩阵．这时，()fλ是A的特征多项式，且有()()(),ffλλ′1=，即它在复数域上无重根，故()mA在复数域上无重根．从而，把A看成复数域上的矩阵，A是可对角化的．⑵由在有理数域上A合同与单位矩阵I，知，存在有理数域上的可逆矩阵，使得PTPAPI=．从而000101TTTTAbPPIbbbPbδbPδδδ⎛⎞⎛⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎞⎟⎠⎟．另一方面，是有理数域上的可逆矩阵，且有01TIbPδ⎛⎞⎜−⎝⎠2001001TTTTTTIIIbPIbPbPbbPPbPbδδδδδδ⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎛=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠⎞⎟⎠，从而有2100TTAbIbbbbAδδδδ−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎞⎟⎠．■5．解⑴对A进行行初等变换135213522131057317940101464110551352730573015500000000A−−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−→−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−−−−⎝⎠⎝⎛⎞−⎜⎟−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠−⎞⎟⎟⎟⎠，可求得基础解系6博士家园系列内部资料1241735005αα−⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎞⎟−⎜⎟⎜==⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝，⎟⎟⎟⎠．正交化，()()211122111219,1,25,1890αββαβαβββ−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟==−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠．⑵不妨设()1,TsAαα=，则()1,,sULαα=．对Wβ∀∈，有110TTTTssAααβββααβ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，从而10TTsαβαβ===．即，从而U,1,2,,TiWisα⊥∈=W⊥⊆．另一方面，()()()()()()()dimdimdimTUrArAnnrAnWW⊥===−−=−=，故，U．■W⊥=6．证由()()12,fxfx互素知，存在()()[],uxvxKx∈，满足()()()()121uxfxvxfx+=，即，()()()()12uAfAvAfAE+=从而对()KerfAα∀∈，由()()()()12EuAfAvAfA12αααα==+=+αα，其中，()()()()1122,uAfAvAfAαααα==．于是，7博士家园系列内部资料()()()()()()()()()()()()1212212100fAvAfAfAvAfAfAuAfAfAuAfAαααα====αα==，即．()()1221,KerfAKerfAαα∈∈另一方面，对()()12KerfAKerfAα∀∈∩，有()()120,0fAfAαα==(