初等代数论文

浅谈多项式研究学号：班级：姓名：摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。关键词：多项式恒等定理因式分解初等数学1.多项式的历史多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老数学问题之一。有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。另一些多项式，如f(x)=x²+1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛。数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。2.多项式的一般概念给一个环R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量x，则多项式是以下代数式：，当中a0,…,an是R的元素。用Σ表达法，有容易证明，多项式的和或积都是多项式，即多项式组成一个环R[x]，称为R上的（一元）多项式环。（注：在最一般的定义，a2x、xa2及axa可以当作是不同的多项式，是不可置换环的例子。）对于多变量多项式，我们可以类似方式定义。一个有n个变量的多项式，称为n元多项式。通常以R[x,y,z]表示R为系数环，x，y及z为变量的多项式环。在中，称为单项式，其中a∈R是系数而为非负整数，是的次数。是这个单项式的次数。2.1多项式的项数若多项式以最少的单项式之和呈现，则每一个单项式都被称为此多项式的项，而项的数目称为项数。例如多项式的项数是四，故称为四项式。当中的、、、、都是此多项式的项。以上例子中的多项式可以写成四个以上单项式的和，如是五个单项式的和。是以必须强调最少的单项式之和。另外的例子是共有二项，此多项式称二项式。（注：若把看作成在R[c][x,y]=(R[c])[x,y]中的多项式，则它只是三项式，分别是、、及。）若是未知数X、Y、Z等若出现在分母里、根号里或是绝对值中，就不能定义为“多项式”。例如：，因为出现在分母里，所以不是多项式。，因为出现在根号里，所以不是多项式。，因为出现在绝对值里，所以不是多项式。2.2变式与常数项多项式中含有变量的项称为变项，祇有数字的项称为常数项。例如多项式:中的、、、都是此多项式的变项。而是常数项。（注：若把看作成在R[c][x,y]=(R[c])[x,y]中的多项式，则才是常数项。）2.3多项式的“元”多项式中的变量种类称为元，各种变量以各字母表达(注:通常是x、y、z)，一个多项式有n种变量就称为n元多项式。例如：中有、二元，是二元多项式。因有四项，可称二元四项式。2.4多项式的次数多项式中次数最高的项的次数,即此多项式的次数。例如多项式：中的次数最高，有三次方，故此多项式的次数为三。因而此多项式可称为三元三次四项式。称为三次项，及称为一次项或线性项，而5是0次项或常数项。又例如多项式，与二项都是一次方，而常数项是零次方。故此多项式的次数为一。而此多项式项数为三，可称为一次三项式。常数项是零次方因为可被视为是。而任何非零数字零次方都是1，故，常数项的次数都为0。又例如的首项是五次，次项是四次，所以是个三元五次多项式。（注：若把看作成在R[c][x,y]=(R[c])[x,y]中的多项式，则第一项是三次而系数为c2，第二项是四次，是个二元四次多项式。）多项式p的次数，记作deg(p)，由英语degree而来。，所以0这一多项式不计次数，故称为零多项式。常数多项式分为零次多项式和零多项式。所谓零次多项式是指每一个项（常数项除外）的系数都是0，而零多项式则指每一项的系数（包括常数项）都是0。1次多项式又称为线性多项式。多项式中的一次项又称为线性项。2.5多项式的升幂及降幂排列多项式可依各单项式元的次数排列。次数从低到高是升幂排列。例如：以下多项式，从排到次数从高到低是降幂排列。例如：以下多项式，从排到若一多项式为多元多项式，可依照其中一元排列。例如:是依X的次数排列。亦可以y的次数排列。例如:3.多项式的恒等定理多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位.对于形式表达式,多项式)(xf与)(xg恒等即:除去系数为零的项外,同次项系数全相等.从函数的观点考察,数域P上一个次数不超过n的非零多项式)(xf在P中至多有n个根,因此,当x取1n个不同的值时,0)(xf,那么一定有0)(xf.由此推出,两个次数均不超过n的多项式)(xf和)(xg,如果对于x的1n个不同的值,都有)()(xgxf,那么)()(xgxf3.1多项式恒等定理的有关理论定义1]1[设n是一非负整数.形式表达式,011axaxannnn（1）其中naaa,,10全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称为数域P上的一元多项式.定义2如果在多项式)(xf与)(xg中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,那么)(xf与)(xg就称为相等,记为)()(xgxf.系数全为零的多项式称为零多项式,记为0.定义3两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等.常用记号表示恒等.定理1若数域P上的多项式)(xf恒等于零,即0)(xf,则0)(xf.定理2数域P上非零多项式)0()(0111nnnnnaaxaxaxaxf)0()(0111mmmmmbbxbxbxbxg恒等的充要条件是)()(xgxf.定理3多项式恒等定理：数域P上两个多项式)()(xgxf（或)()(xgxf）的充要条件是nibaii,,1,0,定理4][xP中n次多项式)0(n在数域P中的根不可能多于n个,重根按重数计算.定理5如果多项式)(),(xgxf的次数都不超过n,而它们对1n个不同的数121,,,n有相同的值,即)()(iigf,1,,2,1ni,那么)()(xgxf.因为数域P中有无穷多个数,所以上述结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.数域上的多项式既可以用形式表达式来处理,也可以作为函数来处理.定理2、定理3和定理5从两个不同的方面阐述了多项式恒等的条件,它们是等价的.3.2多项式恒等定理在初等数学中的应用3.2.1待定系数法定理2与定理3是多项式代数中一个重要方法——待定系数法的理论依据.所谓待定系数法,是假定一个多项式的等式成立,某些未知的系数先形式的写出来,再根据变量的某些特定数值或系数之间的关系,列出以待定系数为未知量的方程组,解这些方程组就可以得到所求的系数.例1已知三次多项式)(xf在x=-1,0,1,2时函数值分别为1,2,3,2,试写出这个多项式.解：令dcxbxaxxf23)(,由条件可知2248321dcbadcbaddcba解之得2,34,0,31dcba所以23431)(3xxxf.例2已知)(xf是三次函数,且3)0(f,0)0(f,3)1(f,0)2(f求函数)(xf的解析式.解：设)0()(23adcxbxaxxf,则cbxaxxf23)(2.将已知条件代人得方程组323)1(0)0(0248)2(3)0(cbafcfdcbafdf解以上方程组得23a,415b,0c,3d.一般已知函数的类型求函数表达式时,先用待定系数法设出函数表达式,然后再用方程（或方程组）求解待定系数.3.2.2在三角恒等式中的应用在三角恒等问题中,某些时候利用多项式恒等定理可以化繁为简.例3证明CBABACCBACBACBAsincoscos4)sin()sin()sin()sin(.分析：这是一个三角恒等问题,常规方法是利用三角函数的有关公式进行恒等变换,这样运算量比较大,观察等式可知左右两边均为关于Csin的一次多项式,因而我们可以考虑运用多项式恒等定理.证：设)sin()sin()sin()sin()(sinBACCBACBACBACf,CBACgsincoscos4)(sin则)(sinCf与)(sinCg都是Csin的一次多项式.令C=0,则0)sin()sin()sin()sin()0(sinBABABABAf,00sincoscos4)(sinBAAg,故)0(sin)0(singf；令AC,则BABBABBAAfcos2sin2)sin()2sin(sin)2sin()(sin,BAAgcos2sin2)(sin所以)(sin)(sinAgAf,由定理4,)(sin)(sinCgCf,即CBABACCBACBACBAsincoscos4)sin()sin()sin()sin(3.2.3证明恒等式恒等式的证明是中学数学常见的问题之一.“两个多项式)(xf与)(xg相等,对于任意的x,都有)()(xgxf.”根据这条结论,在证明某些恒等问题时,我们可以构造两个相等的多项式函数,然后将特定的数赋值给自变量,即可得欲证之式.当等式两边的次数n较低时,我们还可以根据定理4,将1n个特殊的函数值进行比较,即可得欲证之式.例4已知Nn,求证1321232nnnnnnnnCCCC.证：设nxxf)1()(,则)()(xgxf因此)()(xgxf,而1)1()(nxnxf,因此可得12112)1(nnnnnnxnCxCCxn令1x,即得所证之式.3.2.4因式分解“若两个多项式相等,则它们同次的对应项系数一定相等.”用这条结论可以处理因式分解问题.3.2.5多项式恒等定理解决二项式问题的应用二项式定理：nnnnnnnnnnbabCbaCbaCaba1122211)(例5已知nxx)1(2的展开式中第3项与第5项的系数之比为143,则展开式中常数项是.分析由已知条件可求出n的值.再利用通项求出r.解:由14342nnCC,得05052nn.解得10n,5n(舍).由222010102101)1()1()(rrrrrrrrxCxxCT,令02220rr,∴8r.故常数项45)1(210810818CCT.4.因式分解把一多项式分成几个整式的积，称为因式分解。这些整式可称因式。以下是常用的因式分解公式oo4.1多项式分解的方法.4.1.1提公因式法定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来,从而将多项式化成两个因式相乘的形式叫做提公因式法。例1分解因式bm-am+cm分析在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.解bm-am+cm=m(b-a+c)例2分解因式a(x-y)+b(y-x)分析通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.解1a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).4.2.2运用公式法平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式：a3-b3=