《函数与方程思想》教学设计示例

1《函数与方程思想》教学设计示例（2）齐宗锁（宝鸡石油中学）吴晓英（宝鸡金台区教研室）摘要：函数与方程思想一直是高考的重点内容之一，在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等。本教学设计通过追溯课本,明确思想；体验高考,建构思想；典例分析,深化思想；错误剖析,反思思想；课题小结，完善思想；反馈练习，应用思想六个环节来参悟函数与方程思想，让学生恰当的设方程，建函数，能有意识的应用函数与方程思想解题，明确知识间的内在联系，提高思维的深刻性与思辨性，体验数学的理性美。（发表与《中学数学教学参考2013.1.2期）关键词：明确、建构、深化、反思、完善、应用4.2体验高考,建构思想例2(1)（2012高考数学湖北理科第19题的第一问）如图1,45ACB,3BC,过动点A作ADBC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使90BDC(如图2所示).当BD的长为多少时,三棱锥ABCD的体积最大.设计意图:函数的思想的另一重要方面就是用运动和变化的观点，构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决.本题就是利用立体几何线面的BCDAACDB图2图12基本位置关系建立三棱锥ABCD的体积的函数关系,应用导数讨论函数性质,求得三棱锥ABCD体积最大时BD的长度,充分体现建构函数过程.师生活动：先让学生独立思考，尝试以BD的长度为自变量，列出三棱锥ABCD的体积的函数关系.教师板书过程，并让学生指明所设变量的范围，即函数的定义域，然后学生利用导数讨论出函数的单调性,从而求得三棱锥ABCD的体积最大值时BD的长度.学生小结本题是如何建函数的?在立体几何中应用函数思想时应注意那些问题?解:在如图1所示的△ABC中,设(03)BDxx,则3CDx.由ADBC,45ACB知,△ADC为等腰直角三角形,所以3ADCDx.由折起前ADBC知,折起后(如图2),ADDC,ADBD,且BDDCD,所以AD平面BCD.又90BDC,所以11(3)22BCDSBDCDxx.得321111(3)(3)(69)3326ABCDBCDVADSxxxxxx.令321()(69)6fxxxx,下解略.(2)（2012高考数学江苏第10题）设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，1,10()2,011axxfxbxxx其中,abR，若13()()22ff，则3ab的值为.3设计意图:方程思想一个重要的方面就是如何应用函数性质,建立方程或方程组,求解有关参数值或范围.本题就是利用函数的周期,列出关于参数,ab的方程组,求得3ab的值.师生活动：学生应用方程思想.灵活应用函数的周期为2构造出,ab的方程组即可求解.解:由题知,函数()fx的周期为2,且13()()22ff,11()()22ff,且(1)(1)ff,下解略.(3)（2010高考数学辽宁理科第16题）已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为__________.设计意图:利用数列的递推式叠加得出数列na的通项公式na,从而构造出函数33()1fnnn,进而再利用函数的单调性求出最大值,充分体现如何在数列中利用数列有关方法建构函数,并应用函数思想怎样求解的过程.从近几年高考看,以知识为载体,以数学思想为魂,在知识的交汇点处命题,正是考查学生实践能力和创新意识的重要途径.师生活动：给学生时间先求解数列的通项公式na,然后回归到函数33()1fnnn,求出最大值,学生体验应用函数思想,在数列中建构函数以及怎样应用函数的性质进行求解.解:112211()()()nnnnnaaaaaaaa,2212(1)3333nnn,331nannn,设33()1fnnn,4再根据对勾函数单调性求得最大值.下解略.（4）(2011高考数学浙江理科第16题)设,xy为实数，若2241,xyxy则2xy的最大值是.设计意图:本题的解法多,主要是通过此题让学生整体代换变成以某一个变量为主元的二次方程,再利用方程有根求得式子的最大值，充分体现怎样构建方程,并应用方程进行求解,这是方程思想的一个重要体现方式.师生活动：让学生尝试寻找解题的方法,即设2xyt,整理成以x或y为主元的二次方程求解,学生解法对比中提炼出构建方程的方法.解:设2xyt，∴2ytx，代人2241,xyxy整理得，226310xtxt.关于x的方程有根,下解略.4.3典例分析,深化思想例3(2012高考数学重庆文科第16题)已知数列{}na为等差数列，且13248,12,aaaa（1）求数列{}na的通项公式；（2）记{}na的前n项和为nS，若12,,kkaaS成等比数列，求正整数k的值.设计意图:学生深刻理解在等差、等比数列中如何应用方程思想,设变量,建立方程和方程组,求解问题的过程.师生活动:(1)问学生试进行求解,建立首项1a和公差d的方程组,求出通项na,(2)问学生根据等比中项的概念建立关于5正整数k的方程,求出k值,学生小结在此题中应用数列知识体现了什么数学思想?怎样应用思想来求解的?在数列中还有那些地方体现此思想?解:（1）设数列{}na的公差为d,由题意知112282412adad解得12,2ad所以1(1)22(1)2naandnn;（2）由（1）可得1()(22)(1)22nnaannnSnn因12,,kkaaS成等比数列，所以212kkaaS得2560kk解得6k或1k（舍去），因此6k.例4(2012高考数学辽宁文科第21题)设()1fxInxx，证明：(1)当1x时，3()(1)2fxx；(2)当13x时，9(1)().5xfxx设计意图：本题意在把要证明的不等式经过变形构造出函数,求导数讨论函数的单调性使得问题得以解决.训练学生把推理论证能力、运算求解能力结合在一起,体会在证明不等式中函数与方程思想、转化与化归的思想综合应用.师生活动：（1）问让学生尝试做差构造新函数,求导讨论新函数的单调性完成证明,或从()fx分离出函数()1kxInxx,讨论其单调性并应用常见结论1(1)22xxx使不等式得到证明；（2）问让学生再次做差构造新函数9(1)()()5xhxfxx或变形构造新函数()(5)()9(1)hxxfxx求解,并板书解题过程，体6会在导数中如何建构函数的过程.这也是函数思想在导数应用中的集中体现.解：(1)(证法一)设3()1(1),2gxInxxx下解略.(证法二)由均值不等式，当1x时,21xx,得122xx,①令()1kxInxx,则(1)0k,1()10kxx,故()0kx,即1Inxx,②由①②得,当1x时，3()(1)2fxx．(2)(证法一)设9(1)()()5xhxfxx,由(1)得221154254()(5)2(5)2xhxxxxxx,322554(5)2164(5)4(5)xxxxxxx,令3()(5)216Gxxx,下解略.(证法二)设()(5)()9(1)hxxfxx,下解略.7例5（2009全国高考数学全国Ⅰ理科第21题）如图，已知抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点.（1）求r得取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标.设计意图：本题意在利用抛物线和圆方程,二次方程根存在条件,导数等基础知识、把推理论证能力、运算求解能力、综合分析能力结合在一起,体会解析几何中函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想综合应用.师生活动：（1）问让学生利用方程思想,消元变成x一元二次方程,应用方程有两个正根的充要条件列出关于r不等式组,从而求得r范围,(1)问的解决过程,就是建方程,应用方程性质,求解参数取值范围,这是方程思想在解析几何的主要表现形式;（2）问师生共同探究利用设而不求、整体代入的方法处理,找到四边形ABCD的面积的平方2S的函数表达式()ft,应用导数得出函数单调性求得四边形ABCD的面积最大值,(2)问的解决过程,就是建函数,应用函数性质,求值,这是函数思想在解析几何的主要表现形式;通过此题,过程中让学生充分体验解析几何中方程与函数思想是如何应用和建构的.解：（1）将抛物线2:Eyx代入圆222:(4)(0)Mxyrr的方程，8消去2y，整理得227160xxr．．．．．．．．．．．．．①抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是方程①有两个不相等的正根12,xx下解略.（2）设四个交点的坐标分别为11(,)Axx、11(,)Bxx、22(,)Cxx、22(,)Dxx则直线AC、BD的方程分别为)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy解得点P的坐标为)0,(21xx。设21xxt，由216rt及（1）得702r，由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积||)22(212121xxxxS则]4))[(2(2122122112xxxxxxxxS,将721xx，txx21代入上式，并令2)(Stf，即)270(34398288)27()27()(232tttttttf，下解略.参考文献：1.《数学思想论述》，陕西大出版社2006.8；2.《中学数学教学参考》2012.1—2《函数的图形与性质》；3.《中学数学教学参考》2012.1—2《三角函数与平面向量》.