大一高数第一章--函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述.第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式axb的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,ab，即,{|}abxaxb；满足不等式axb的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)ab，即(,){|}abxaxb；满足不等式axb(或axb)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为,ab(或,ab)，即,{|}abxaxb(或,{|}abxaxb)，左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a，b称为区间的端点.以上这些区间都称为有限区间.数ba称为区间的长度.此外还有无限区间：(){|}xxR，，,{|}bxxb，(,){|}bxxb，{|}axax，，(){|}axax，，等等.这里记号“”与“”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”.邻域也是常用的一类区间.设0x是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集:00|xxδxxδ为点0x的δ邻域，记作0(,)Uxδ.即000,|Uxδxxδxxδ称点0x为该邻域的中心，δ为该邻域的半径(见图1-1).称00(,)Uxδx为0x的去心δ邻域，记作0(,)xδoU，即00(,)|0Uxδxxxδ图1-1下面两个数集000,|Uxδxxδxx，000,|Uxδxxxxδ，分别称为0x的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用0()Ux，0()xoU分别表示0x的某邻域和0x的某去心邻域，0,xδoU，0,Uxδ分别表示0x的某左邻域和0x的某右邻域.二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖关系，称为函数关系.定义1设A，B是两个实数集，如果有某一法则f，使得对于每个数xA，均有一个确定的数yB与之对应，则称f是从A到B内的函数.习惯上，就说y是x的函数，记作yfx()xA其中，x称为自变量，y称为因变量，fx表示函数f在x处的函数值.数集A称为函数f的定义域，记为Df；数集()|(),fAyyfxxAB称为函数f的值域，记作Rf.从上述概念可知，通常函数是指对应法则f，但习惯上用“,yfxxA”表示函数，此时应理解为“由对应关系yfx所确定的函数f”.确定一个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t的函数ft中，t通常取非负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的自变量x的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方法，分别称为图示法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数都是用公式法表示的函数.从几何上看，在平面直角坐标系中，点集{(,)|,}xyyfxxDf称为函数yfx的图像（如图1-2所示）.函数yfx的图像通常是一条曲线，yfx也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨.现在我们举一个具体函数的例子.图1-2例1求函数2141yxx的定义域.解要使数学式子有意义，x必须满足,240,10xx即2,1.xx由此有12x，因此函数的定义域为12，.有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数.例2绝对值函数,0,,0.xxyxxx的定义域()Df，，值域[0,)Rf，如图1-所示.例3符号函数1,0,sgn0,0,1,0xyxxx的定义域Df，，值域11{0}Rf，，，如图1－4所示.图1-3图1-4例4最大取整函数yx，其中x表示不超过x的最大整数.例如，113，00，12，π3等等.函数yx的定义域()Df，，值域{}Rf整数.一般地，yxn，1nxn，120,,n，，如图1-5所示.图1-5在函数的定义中，对每个xDf，对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.若给定一个对应法则g，对每个xDg，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则g确定了一个多值函数.例如，设变量x与y之间的对应法则由方程2225xy给出，显然，对每个55[,]x，由方程2225xy可确定出对应的y值，当5x或5时，对应0y一个值；当55(,)x时，对应的y有两个值.所以这个方程确定了一个多值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，由方程2225xy给出的对应法则中，附加“0y”的条件，即以“2225xy且0y”作为对应法则，就可以得到一个单值分支2125ygxx；附加“0y”的条件，即以“2225xy且0y”作为对应法则，就可以得到一个单值分支22()25ygxx.在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径r的关系，就是通过另外一个变量其底面圆面积S建立起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.定义2设函数yfu的定义域为Df，函数ugx在D上有定义，且gDDf.则由下式确定的函数yfgx，xD称为由函数yfu与函数ugx构成的复合函数，记作yfgxfgx，xD，它的定义域为D，变量u称为中间变量.这里值得注意的是，D不一定是函数ugx的定义域Dg，但DDg.D是Dg中所有使得gxDf的实数x的全体的集合.例如，yfuu，21ugxx.显然，u的定义域为,，而(0,)Df.因此，11,D＝，而此时1()0,Rfg.两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形.例如，logaμxuyxa10aa且可看成由指数函数uya与logauμx复合而成.又形如()log()()()avxuxvxyuxa0ux＞10aa且的函数称为幂指函数，它可看成由wya与()log()awvxux复合而成.而2sinyx可看成由yu，sinuv，2vx复合而成.例5设()1xfxx1x，求fffx解令yfw，wfu，ufx，则fffx是通过两个中间变量w和u复合而成的复合函数，因为111121xxxxuxwfuux，12x；2121,1131xxxxwxyfwwx13x，所以31xfffxx，111,,23x.定义3设给定函数yfx，其值域为Rf.如果对于Rf中的每一个y值，都有只从关系式yfx中唯一确定的x值与之对应，则得到一个定义在Rf上的以y为自变量，x为因变量的函数，称为函数yfx的反函数，记为1xfy.从几何上看，函数yfx与其反函数1xfy有同一图像.但人们习惯上用x表示自变量，y表示因变量，因此反函数1xfy常改写成1yfx.今后，我们称1yfx为yfx的反函数.此时，由于对应关系1f未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数1yfx与直接函数yfx的图像关于直线yx对称，如图1-6所示.图1-6值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数2yx的定义域为，，值域为，但0，对每一个0y，，有两个x值即1xy和2xy与之对应，因此x不是y的函数，从而2yx不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，若f是从Df到Rf的一一映射，则f才存在反函数1f.例6设函数(1)1xfxx1x，求11fx.解函数1yfx可看成由yfu，1ux复合而成.所求的反函数11yfx可看成由1yfu，1ux复合而成.因为11xufuxu，0u，即1uyu，从而，11uy，11uy，所以11 1yfuu，因此1111 ,01(1)fxxxx.三、函数的几种特性1.函数的有界性设函数fx在数集D上有定义，若存在某个常数L，使得对任一xD有fxL（或fxL），则称函数fx在D上有上界（或有下界），常数L称为fx在D上的一个上界（或下界）；否则，称fx在D上无上界（或无下界）.若函数fx在D上既有上界又有下界，则称fx在D上有界；否则，称fx在D上无界.若fx在其定义域Df（）上有界，则称fx为有界函数.容易看出，函数fx在D上有界的充要条件是：存在常数M0，使得对任一xD，都有fxM.例如，函数sinyx在其定义域，内是有界的，因为对任一x，都有sin1x，函数1yx在10,内无上界，但有下界.从几何上看，有界函数的图像界于直线yM之间.2.函数的单调性设函数fx在数集D上有定义，若对D中的任意两数1