中职数学一元二次不等式的解法

不等式不等式不等式不等式2.3一元二次不等式的解法一家旅社有客房300间，每间客房的日租金为30元，每天都客满，如果一间客房的日租金每增加2元，则客房每天出租数会减少10间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，可以保证每天客房的总租金不少于10000元．设每间客房的日租金增加x个2元，即客房的日租金为(30+2x)元，这时将有300－10x房间租出．（300－10x）(30+2x)≥10000，－20x2+600x－300x+9000≥10000，x2－15x+50≤0，解：x2－15x+50≤0，(x－5)(x－10)≤0，解不等式组(Ⅰ)，得5≤x≤10；解不等式组(Ⅱ)，得其解集为空集．所以原不等式的解集为[5，10]．即旅社将每间客房的日租金提高40到50元时，可以保证每天客房的总租金不少于10000元．本不等式等价于不等式组：(Ⅰ)或(Ⅱ)01005xx01005xx它的一般形式:ax2+bx+c0（≥0）或ax2+bx+c＜0（≤0）.一元二次不等式的定义含有一个未知数并且未知数最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式.判断式子是否是一元二次不等式？（1）x23x＋5≤0；（2）x2－9≥0；（3）3x2－2x＞0；（4）x2＋5＜0；（5）x2－2x≤3；（6）3x＋5＞0；（7）（x2）2≤4；（8）x2＜4．解一元二次不等式？二次函数与一元二次方程0322xxxy…-2-101234……70-3-4-307…(1,-4)NM当x为何时,y=0?写出二次函数的顶点坐标,对称轴,并画出它的图象.322xxyx=-1,x=3x=-1,x=312探究一巩固练习不画图象，你能说出函数的图象与x轴的交点坐标吗？62xxy解：当y=0时，062xx2,321xx62xxy解得：所以,函数的图象与x轴的交点坐标为（-3，0）和（2，0）.观察二次函数的图象和二次函数的图象,分别说出一元二次方程和的根的情况.962xxy322xxy0962xx0322xx0962xxy0322xxy探究二0322xx0962xx二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac01、判断下列函数图象与x轴是否有公共点,并说明理由。∴该抛物线与x轴有两个交点.xxy2(1)962xxy(2)11632xxy(3)解:901014)1(40,1,1)1(22××\acbcba∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0已知二次函数的图象，利用图象回答问题：（1）方程的解是什么？862xxy0862xx想一想！（2）x取什么值时，y0？（3）x取什么值时，y0？二、重难点讲解类似地，我们能不能将一元二次不等式的求解与一元二次函数以及一元二次方程联系起来找到其求解方法呢？试一试：解不等式x2－2x－30作出y=x2－2x－3的图像yxo－13●●X=1x2－2x－3=0的解为：x2－2x－30的解为：x2－2x－30的解为：X=-1或x=3X-1或x3-1x3二、重难点讲解我们通过二次函数y＝x2－2x－3的图像不仅求得了的x2－2x－30解集，还求得了的x2－2x－30解集.可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个有效的方法.如果相应的一元二次方程分别有两个实根、唯一实根、无实根的话，其相应的二次函数的图像与轴的位置关系如何？请观察表中的二次函数的图像，并写出相应的一元二次不等式的解集.这张表是我们今后求解一元二次不等式的主要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二次函数的图像。二、重难点讲解记忆口诀：.(a0且△0)大于0取两边，小于0取中间xyox1x2●●解一元二次不等式的步骤：①把二次项系数化为正数；②解对应的一元二次方程；③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象；④得出不等式的解集．例1解不等式2x2－3x－20解：2,2121xx025)2(243422acb所以不等式的解集是}.221|{xxx或因为∆0，方程2x2－3x－2＝0的解是三、例题讲解yxo－1/22●●例2解不等式4x2－4x＋10解:因为△=0,方程4x2－4x＋1=0的解是，2121xx所以,原不等式的解集是21|xx观察4x2－4x＋10的解无解三、例题讲解xyo●三、例题讲解例3解不等式－x2＋2x－30解:∵－x2＋2x－30∴x2-2x+30又∵△0，∴原不等式无解.三、例题讲解例4解不等式：-3x2+6x2解：∴3x2-6x+20因为，△0，方程3x2-6x+2=0的解是331,33121xx所以，原不等式的解集是}331331|{xx∵-3x2+6x2xyo●●所以原不等式的解集为{x|x≠2}．例5（1）解不等式x24x+40解:x24x+4=(x2)2，因为对于任意实数x，都有(x2)2≥0，（2）解不等式x24x+40所以原不等式的解集为.解:因为没有一个实数x使得不等式(x2)2＜0，例6（1）解不等式x2－2x＋30解：（1）对于任意一个实数x，都有x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，所以原不等式的解集为R．（2）解不等式x2－2x＋30解：（2）对于任意一个实数x，不等式(x－1)2＋2＜0都不成立，所以原不等式的解集为．(1)x2－2x＋3≤0；(2)x2＋4x＋5＞0；(3)x2－2x＋1＞0．解下列不等式：解下列不等式：（1）4x2+4x－30；（2）3x≥52x2；（3）9x2－5x－4≤0．（4）x2－4x＋5＞0．五、小结xyox1x2●●（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑中要想象图像或划出草图.（2）对于a0的一元二次不等式可转化为a0的情形求解.（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准确运算结果.求解一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0,=b24ac0)的步骤:开始判断=b24ac0ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(x1x2)写出两个等价的不等式组(x-x1)(x-x2)0分别解出两个不等式组的解集是否{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}