沪教版初一下等腰三角形三线合一

等腰三角形等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。变式练习1-1如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。变式练习1-2已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。例2．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE的长度。【巩固练习】1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。2、在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝________，∠DAC＝________，BD＝________cm。3、在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝________。4、已知△ABC中，∠A＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（）（A）90°－n21°（B）90°＋n21°（C）180°－n°（B）180°－n21°5、下列两个三角形中，一定全等的是（）（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B）两个等边三角形（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC的平分线？ABBCED7、已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。求证：CD⊥BE。9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。10、如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂足。求证：MN∥CN。ACBDE等腰三角形的判定1．如图1，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过Ｆ作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（）.(A)9(B)8(C)7(D)62．如图2，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上，若BD=CE，CD=BF，则∠EDF（）.(A)A2190(B)A90(C)A180(D)A21803．如图3，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是（）.(A)0.5厘米(B)1厘米(C)1.5厘米(D)2厘米4．若△ABC的三边长是a,b,c，且满足224442244422444,,babaccaacbcbcba，则△ABC是(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形5．如图4，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE=150°，则∠BAC的度数是（）.(A)105°(B)110°(C)115°(D)120°6．如图5，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是.图1图2图3图4综合运用7．如图7，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于O点，作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC=a，AC=b，AB=c，则△GMO的周长+△ENO的周长+△FHO的周长=.8．如图8，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于M，EF=12，则DM=.9．一个等腰三角形的周长是12，且三长边长都是整数，则三角形的腰长是.10．如图9，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为.11．如图10，A，B是两个大小、形状相同的三角形纸片，其三边长之比为3:4:5，按如图方法将它们对折，使折痕过其中一个顶点，且使顶点所在两边重合，记折叠后不重合部分面积分别为BASS,，且39BASS，则三角形纸片A的面积为.图5图7图8图9（B）（A）探索拓展12．如图11，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB+BD=CD，求证：∠B=2∠C13．如图12，已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC＞60°，∠ABD=60°，且BDCADB2190.求证：AB=BD+DC.图11图1214．(1)如图（1），四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC.(2)如图（2），四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD图(1)图(2)