知识讲解-《概率》全章节复习与巩固

《概率》全章节复习与巩固【学习目标】1.理解随机变量及其概率分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.理解事件的独立性和条件概率，并能进行简单的应用.4.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.5.理解随机变量的均值、方差的概念，能计算简单随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.6.了解正态分布的有关概念.【要点梳理】要点一、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母,等表示。对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；若是随机变量，,ba其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。2．离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,…,x3,…,若取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为iiPxP)(，则称表x1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量的概率分布，简称的分布列.离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）pi≥0,i=1,2…；（2）P1+P2+…=13．如果随机变量X的分布列为X10Pp1p称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布。要点二、超几何分布在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{}Xk发生的概率为：()knkMNMnNCCPXkC，0,1,2,,km，其中min{}mM，n，nNMNnMNN，，，，，称分布列X01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC为超几何分布列。离散型随机变量X服从超几何分布。要点三、独立性1.条件概率的概念设A、B为两个事件，且()0PA，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号(|)PBA表示。要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2.条件概率的公式①利用定义计算先分别计算概率P（AB）及P（B），然后借助于条件概率公式()(|)()PABPABPB求解．②利用缩小样本空间的观点计算在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的事件A缩小为事件AB，从而(|)ABPABB包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()nABPBAnA，此法常应用于古典概型中的条件概率求解．3.事件的独立性事件A、B满足()()PABPA，则称事件A、B独立。若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立。4．相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件A和事件B，用AB表示事件A、B同时发生。（1）若A与B是相互独立事件，则()()()PABPAPB；（2）若事件12,,,nAAA相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：1212()()()()nnPAAAPAPAPA。要点四、二项分布1.n次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A与A，并且事件A发生的概率相同。在相同的条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验。要点诠释：在n次独立重复试验中，一定要抓住四点：①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果A与A，即某事件要么发生，要么不发生；③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；④各次试验之间相互独立。总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。2.独立重复试验的概率公式如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：()(1)kknknnPkCpp（k=0，1，2，…，n）．令0k得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为．．．．．．．．00(0)(1)(1)nnnnPCppp令kn得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为．．．．．．．．0()(1)nnnnnPnCppp。3.二项分布在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是p，则此事件不发生的概率为1qp，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是()()kknknnnPkPkCpq，（0,1,2,...,kn）．于是得到离散型随机变量的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn由于表中第二行恰好是二项展开式011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为n，p的二项分布，记作~(,)Bnp．要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是独立性，即每次试验的结果是相互独立的；其二是重复性，即试验独立重复地进行了n次；其三是试验的结果的独特性，即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。要点五、随机变量的均值和方差1.离散型随机变量的期望一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2x…ix…P1p2p…ip…则称E11px22px…nnpx…为的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．2.离散型随机变量的方差与标准差方差：已知一组数据1x，2x，…，nx，它们的平均值为x，那么各数据与x的差的平方的平均数[12nS21)(xx＋22)(xx＋…＋])(2xxn叫做这组数据的方差。离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2x…ix…P1p2p…ip…则称D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋2()iixEp＋…称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的期望．D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作．3.常见分布的期望与方差二点分布：若离散型随机变量服从参数为p的二点分布，则期望Ep；方差(1).Dpp二项分布：若离散型随机变量服从参数为,np的二项分布，即~(),BnP，则期望EnP；方差(1-)Dnpp几何分布：独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且1()(1)kPkpp，0,1,2,3,,,kn，称离散型随机变量服从几何分布，记作：~()()PkkPg，。若离散型随机变量服从几何分布，且~()()PkkPg，，则期望1.Ep方差21-pDp超几何分布：若离散型随机变量服从参数为,,NMn的超几何分布，则期望()nMEN要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。要点六、正态分布1．概率密度函数对于连续型随机变量X，位于x轴上方，X落在任一区间（a，b]内的概率等于它与x轴、直线xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X的概率密度曲线，以其作为图象的函数()fx叫做X的概率密度函数。正态变量的概率密度函数表达式为：22()2,1()(R)2xxex，（0,）其中x是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；是正态变量的标准差.2．正态分布如果对于任何实数,()abab随机变量X满足：,()()baPaXbxdx，则称随机变量X服从正态分布。记为2(,)XN。若2(,)XN，则X的期望与方差分别为：EX，2DX。3.正态密度曲线如果随机变量X的概率密度函数为22()21()(R)2xfxex，其中实数和为参数（0,），则称函数()fx的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。4．正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x对称；③曲线在x时达到峰值12；④当x时，曲线上升；当x时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.⑤曲线与x轴之间的面积为1；⑥决定曲线的位置和对称性；当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿x轴平移。⑦确定曲线的形状；当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。【典型例题】类型一、概率分布的性质例1、若离散型随机变量ξ的概率分布列为：ξ01p9c2-c3-8c试求出常数c与ξ的分布列。【解析】由离散型随机变量分布列的基本性质知：2293810910381cccccc解得常数31c，从而ξ的分布列为：ξ01p3231【总结升华】解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质，在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1。举一反三：【变式1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．【解析】根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.所求的概率为P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．【变式2】随机变量的分布列如下：101Pabc其中abc，，成等差数列，若13E，则D的值是．【答案】59；【解析】由题意知：2111013acbabcabc，解得161312abc，所以2221111115(1)(0)(1)6333239D。类型二：有关超几何分布问题例2、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．由于事件AB，相互独立，且23241()2CPAC，24262()5CPBC．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255PABPAPB．（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球，从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球，从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件CD，互斥，且21132422464()15CCCPCCC··，123422461()5CCPDCC·．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515PCDPCPD．（Ⅲ）可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P，7(1)15P，13224611(3)30CPCC·．从而3(2