2013大学物理竞赛辅导(振动和波)

dxx))((2cosxddtAy)2(2cosxdtA1.如图所示，在坐标原点o处有一波源，它所激发的振动表达式为，该振动以平面波形式沿轴正方向传播，在距波源d处有一平面将波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处反射波的表达式为。tAy2cos2.有一半球形光滑的碗，小球Ⅰ在碗的球心处，小球Ⅱ在碗壁离底部中心A点很近的地方，如图所示。现同时从静止释放两个小球，所有阻力均不计，则小球Ⅰ与Ⅱ到达碗底A点所需时间之比为。IIIA12Rtg242TRtg12/0.9tt例：在两平行无限大平面内是电荷体密度0的均匀带电空间，如图示有一质量为m，电量为q(0)的点电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面oo的时间是多少？d0ooq0x)0(0qxqqEFq受的电场力kxF律相同此式与弹簧振子受力规q以oo为中心，在两平面内做简谐振动mqmkqk002T4TtxE0解：由高斯定理可求3.一波脉冲在弦上向x正方向传播，t=0时刻的波形图如下所示，画出自t=0时刻起，P点的位移与时间的关系曲线ty4。某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦段中，振动动能最大的部位在处，势能最大的部位在处。ABC波的能量5。标准声源能发出频率为250Hz的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的固有频率。将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在L=0.34m和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度为。L4)12(nln212ll38.1此时拍频增加，由此可知01.5Hzvv01.5Hz248.5Hzvv共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时的气柱高度应满足故第一、二次共鸣时气柱的高度差212LL212()1.38LLmu=v11.38248.5343sms解：拍频为1.5Hz时有两种可能音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率应减小，001.5Hz1.5Hzvvvv，4)12(nLn6.驻波可看作两列行波叠加而成，下面的图中圆点（·）代表一维驻波的波节位置，叉（×）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时序图（a）、（b）、（c）所示。试在各图中画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）。zz(b)(c)(a)zzz(b)(c)(a)z解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。7.两个实验者A和B各自携带频率同为1000Hz的声源，声波在空气中的传播速度为340m/s。设A静止，B以速率20m/s朝着A运动，则A除了能收到频率为1000Hz的声波外，还能接收到频率为Hz的声波；B除了能收到频率为1000Hz的声波外，还能接收到频率为Hz的声波。多普勒效应8.飞机在空中以速度u=200m/s作水平飞行，它发出频率为的声波，静止在地面上的观察者在飞机飞越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在4s的时间内测出声波的频率由降为，已知声波在空气中的速度v=330m/s，由此可求出飞机的飞行高度h=m。02000Hz02400Hz01600HzABMvvu解：由多普勒效应可知：10cosvvu20cosvvucos0.2750,cos0.4125ABMvvu11sinAMhttvv22sinBMhttvv212111()sinsinhttttv21()()ttuABhctgctg214tt31.03410hm9.一维谐振子沿x轴作振幅为A的简谐振动。求证：在振动区间内任一x处出现的概率密度（即x处附近无限小区间内单位距离上振子出现的概率）221()pxAx解：因振子在x→x+dx区间内出现的概率正比于振子在上述区间的时间间隔dt与振动周期T的比值，设比例常量为C，则有pdx=Cdt/T||dxdtvCdtpdxT||CpvTcos()xAt22|||sin()|vAtAx||CpvT22222CCpTAxAx由归一化条件：2212AACdxAx2C221()pxAx10.一房屋坐落在一条东西向公路的南面距公路100m的地方，屋内的电视机正接收远处电视台的讯号，讯号频率为60MHz，方向如图所示。一汽车沿公路自东向西匀速行驶，使屋内电视机讯号的强度发生起伏变化。当汽车行经房屋正北面O点的瞬时，屋内电视讯号的强度起伏为每秒两次，求：汽车的行驶速率。,解：设t时刻，汽车在位置C处，坐标如图所示，电视机接收到讯号的波程差为δ：BCCAcos()CACA221cos()dxcos()coscossinsin2222cossinxddxdx22cossindxxd22cossindxxd22cos0dxdxdxdtdtdtdx0,cosvcosddxxdtdt1vcosddt2ddt22vcoscoscv11.5/ms11.由两根相距为d竖直放置的棒状天线O1和O2组成的天线阵列，可在水平平面内各向同性地发射波长为λ、强度相同，但有一定相位差的无线电波。O1O2中点O与远方A、B两镇连线间的夹角为φ（φπ），如图所示。现想通过调整两天线间的相差，使A镇收到的信号最强，B镇却收不到信号；当改变用另一相位差时，使A镇收不到信号，而B镇收到信号最强。求：（1）天线阵列O1和O2连线的最小长度dmin（2）O1O2与OA间的夹角θ？这两种情况中两天线所发射的无线电波间的相位差各为何值。2sin()2Ad解：设两信号的相位差为α，则：2[sin[()]]2BdA极大B极小2Ak(21)BkABAB2sin()sin()22d12()2kk(1/2)2cos(/2/2)sin(/2)kkd1kkcos()122min4sin/2d221min2sin()222Adk1min2sin()222Adk21干涉相反：12.如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖起悬挂着，它的下端连结质量为M的平板，平板上方h处有质量也为M的小物块。今使系统从弹簧处于自由长度状态，平板和小物块静止开始释放，当平板降落到受力平衡位置时，小物块恰好追上平板并与其粘连。hkMM试求：（1）h;（2）小物块与平板粘连后的瞬间向下运动的速度u;（3）小物块与平板粘连后形成的振动的振幅A。解：设△l为粘连前平板下降的高度，则：MglkhkMMkM2MTk42TMtk小球下落的高度：212hlgt218Mhgk（2）粘连前平板和小球的速度分别为v1和v21Mvlgk22Mvgtgk粘连（完全非弹性碰撞）后两者下落的速度为12MMuMvMv1211()1222Muvvgk（3）粘连后系统的平衡位置下移Mglk以2△l为坐标原点，以向下的方向为x轴的下向建立坐标系（计时起点为粘连时）：000,,txlvu新振动的角频率为2kM新振动的振幅为：22200211122vMAxgk13.两弹性系数都是k的弹簧它们与质量为m两固定端之间的距离为L，等于两弹簧原长的和，微微波动一下滑块，使其作微小的振动运动，求振动圆频率。的绝缘滑块连接，滑块内植入一电量为Q的正点电荷两固定端处各放一电量为q的正点电荷qqQm,解：当位移为x时，滑块受力x2020)2(4)2(42xLqQxLqQkxF滑块运动方程202022)2(4)2(42xLqQxLqQkxdtxdm202022)2(4)2(42xLqQxLqQkxdtxdm由于Lx，对力作近似处理2020)2(4)2(42xLqQxLqQkxF22022024242xLxLqQxLxLqQkxLxLxLqQkx411411220LxLxLqQkxF411411220利用...1112ttt...1112ttt得到LxLxLqQkxF4141220滑块振动方程变为xLqQkdtxdm302282振动圆频率为30821LqQkm28届（一）3.水平静止的车厢中，用一根劲度系数为k的轻弹簧水平静止地连接质量为m的小滑块，滑块与车厢底板间无摩擦。今如图所示使车厢以恒定的加速度a0水平向右运动，小滑块将在车厢内左右振动，振动角频率ω=，振幅A=。固有频率公式：mk27届（一）3.多普勒效应示意图见右，波源S的振动频率为，S朝着接收者B的运动速度为。机械波在介质中的传播速度为，B朝着S运动的速度为。则当时，B的接受频率；当时，B的接收频率。多普勒效应公式：20svBv0,0sBuvv=1u0,0sBvv=26届（一）3.在x轴上传播的三列纵波，合成的驻波可表述成＝，x＝处均为驻波的波腹点。振动的合成合成的驻波1230222cos()cos()4Axt12102cos()Atx202cos()2Atx3022cos()4Atx解:（1）合成驻波的表达式为321)42cos(2)4cos()42cos(200xtAxtA2cos2cos2coscos)42cos(2)22cos()2cos(000xtAxtAxtA)42cos(2)42cos(200xtAxtA)2cos()4cos(20xtA)4cos()2cos(20txA（2）驻波的振幅)2cos(2)(0xAxA波腹处坐标,...2,1,0,221)2cos(kkxkxx25届（一）5.振动频率为ν0的声波波源S静止于水平地面某处，骑车者B与S相距L。t＝0开始，B沿着垂直于此时B、S连线方向以水平匀速度v运动，如图所示。已知声波在空气中的传播速度uv，则而后t时刻B的接收频率ν(t)＝，从t＝0到t时刻期间，B接收到的振动次数N（t）＝。多普勒效应振动次数tdt)t()t(N00BuvuSBv×L解：（1）设B在t时间内从A点运动到C点221)(costLtSCACB在C与S的连线方向的速度为SACvv1θB根据多普勒效应,骑车者B远离波源S,因此B接收的频率为方向的速度是观察者在与波源连线000uu代入v1得,02201))(1(tLtuuu（2）B在t时间内接收到的振动次数为ttdttLtudttN00220))(1()(ttdtLtut02200)