对数相关公式

1对数相关知识概述：对数是高中代数中一块重要内容，主要考察对数函数以及与对数相关的运算等（包括各种公式），在此总结如下：定义：对数源出于指数logxaaNxN，0a且1a，0N常用对数：10lglogNN；自然对数：lnlogeNN，2.718281828459e一．代数基本关系式.(基础)把指数式代入对数式消去N，得到*（F1）logxaax，0a且1a，xR说明：xaaxxaaxalog为底做对数运算以为底作指数运算以特别地，对应0x和1x的情况，有*（F1.1）log10a，0a且1a*（F1.2）log1aa，0a且1a把对数式代入指数式消去x，得到（F2）真数还原:logaNaN，0a且1a，0N说明：loglogaNaaaNNaN以为底做对数运算以为底做指数运算应用举例：例1：求值(E1)321log256；(E2)3log227；(E3)9log227。解：(E1)558855322218loglog2log22565(E2)33333log2log23log2log2332733328(E3)为了底数变为相同，先分析27与9的关系，33322227339，所以999log2333log2log22222799222注：需要使用的指数恒等式：srrrssrsaaaa，0a。做这一类题的关键在于关注底数是否相同，底数不同的想办法化成同底数，然后应用公式。自己动手：(Q1)7log49；(Q2)12log8；(Q3)127log243；(Q4)2log52；(Q5)32log533。（F3）loglogaaNMMN，0a且1a，,0MN2证明：因为logloglogloglogaaaaaNMNMNaaM同理logloglogloglogaaaaaMNMNMaaN上面两式的左边底数相同，指数的相等由乘法交换律保证着，所以loglogaaNMMN。应用举例：例1：(E2)3log227；(E3)9log227解：用（F3）重新做：(E2)33log2log27327228；(E3)32229933log3log2log2722722222。注：（F3）可以方便计算这一类题，在做选择填空上可以快一点点。自己动手：(Q6)51log7125；(Q7)32log278。二．积的对数、商的对数、幂的对数。（重点）*（F4）logloglogaaaMNMN,0a且1a，,0MN证法一：令mMa，nNa，那么logamM，loganN，所以logloglogloglogmnmnaaaaaMNaaamnMN。证法二：logloglogloglogloglogloglogaaaaMNMNaaaaaMNaaaMN。证法一首先引入了辅助的,mn，最后求得结果后换回,MN。证法二是不引入辅助量而是利用了（F2）和（F1）。两种方法基本步骤一样，没有本质区别。(F4.1)扩展到多个数的积的情况：0a且1a，12,,,0kNNN1212loglogloglogakaaakNNNNNN*（F5）logloglogaaaMMNN,0a且1a，,0MN*（F6）loglognaaMnM，0a且1a，0M，nR证法一：令mMa，那么logamM，所以loglogloglognnmmnaaaaMaamnnM。证法二：loglogloglogloglogaanMnMnaaaaMaanM。应用举例：3例2：求值：（E8）lg2lg5；（E9）33log723log2；（E10）7lg142lglg7lg183；（E11）2lg2lg50lg5；解：（E8）lg2lg5lg25lg101；（E9）33333333log723log2log72log2log722log92；（E10）2155555577log142loglog7log18log14718log1033注：把所有减法做成加法，把所有除法做成乘法。（E11）2lg2lg50lg522lg2lg25lg52lg2lg22lg5lg522lg22lg2lg5lg52lg2lg51例3：(E12)已知log18am，log24an，0a且1a，求log1.5a。分析：质因数分解：21823，32423，而11.523，它们都由以2或3为底的幂所“组成”。注意这里要解一元二次方程组。解：因为log18log22log3aaam（1）同理log243log2log3aaan（2）从上面两式解出log2a和log3a（m和n是已知量，把log2a和log3a看作未知量）（2）2-（1）：215log22log255aanmnm（1）3-（2）：315log33log355aamnmn所以43log1.5log3log255aaamn自己动手：（Q8）552log10log0.25；（Q9）1lglg254；（Q10）2lg2lg5lg20；（Q11）22lg52lg2lg2；（Q12）已知lg2a，lg3b，lg7c，求下列各式的值：（Q12.1）lg105；（Q12.2）lg75；（Q12.3）lg2.8；（Q12.4）5lg6。三：对数式连锁。（这个恒等式比较难，有兴趣的同学可以看一下）4（F7）logloglog，,0,11,，0。（类比：）证明：记logn，应用（F6）与（F2），有logloglogloglogloglognn。（F7.1）扩展应用：011,,,0,11,n，0n01210121logloglogloglognnnnn类比：11201210nnnnn应用举例：例4：（E13）logloglogabcbca；（E14）23log3log4。解：由（F7.1）：（E13）loglogloglog1abcabcaa，,,0,11,abc。（E14）232log3log4log42自己动手：（Q13）5432log4log3log2log5；（Q14）4567log5log6log7log8。四：换底公式。（既是重点又是难点）前面的恒等式的变换（F1—F6）都没有触及底数，对数的运算大多要求底数相同，当底数不同时，对底数进行变换令其变为相同非常必要，所以换底公式是为了在运算中统一底数，降低运算难度而出现的。**（F8）logloglogcacbba，,0,11,ac，0b。（类比：//bbcaac）证法一：由（F7）得logloglogcacabb，即logloglogcacbba。证法二：令ac，bc，那么logca，logcb，所以logloglogloglogcacccbbcca。注意到，换底公式从左到右的应用过程中，底数由a变为c，右边成为对数的商的形式，其中c可以在0,11,范围内根据实际情况任意选取。只需对c取一些特殊值，便可得到换底公式一些常用形态。（F8.1）取10c，lgloglgabba；5（F8.2）取ce，lnloglnabba；（F8.3）取cb，1loglogabba，即loglog1abba，底数与真数互换之后的对数式与原对数式互为倒数；*（F8.4）loglogrsaasMMr，0a且1a，0M，0r，sR证明：用换底公式（F8），把底数换成a，得到logloglogrssaraaMMa，再应用(F6)与(F1)，有logloglogsaaraMsMar，结合起来便得到（F8.4）。恒等式（F8.4）是恒等式（F6）的增强版本。（F8.5）对数式中，底数和真数同时进行同指数乘方（该指数非零），对数式的值不变。loglognnaaMM，0a且1a，0M，0n这样底数a可以换成与之关系比较密切的na，例如2log3可以“扩充”成为4log9，也可以“收缩”成为2log3，也可以“倒转”成为121log3，视乎需要使用。（F8.6）多个对数式连乘积中，将所有真数以任意顺序重排，将所有底数以任意顺序重排，得到新的对数式连乘积的值与原式相等。这个公式写出来比较麻烦，下面用例子说明：如3579log4log6log8log10真数是：4,6,8,10，底数是：3,5,7,9，我们把真数随意重排：6,10,8,4，底数重排后：7,5,3,9，新的对数式7539log6log10log8log43579lg4lg6lg8lg10log4log6log8log10lg3lg5lg7lg97539lg6lg10lg8lg4log6log10log8log4lg7lg5lg3lg9观察上面两式右边，分子和分母分别都只是顺序不同而已，乘法交换律保证了两对数式连乘积的相等。35797539log4log6log8log10log6log10log8log4应用举例：6例5：（E15）235111logloglog2589；（E16）4839log3log3log2log2。解：（E15）对数式的连乘，与对数式连锁有点相似，但稍微复杂，应用换底公式235111lglglg1112lg53lg22lg32589logloglog122589lg2lg3lg5lg2lg3lg5另外，应用（F8.6），保持真数顺序不变，底数2,3,5重排为：5,2,3，有235523111111loglogloglogloglog2321225892589（E16）括号之内底数不同，不能直接相加，全部换成常用对数4839lg3lg3lg2lg211lg31lg25log3log3log2log212lg23lg2lg32lg323lg22lg34例6：（E17）已知2log3a，3log7b，试用a，b表示42log56；（E18）已知3log2a，5log2b，试用a，b表示30log90。解：（E17）解法一：全部换成常用对数2lg3log3lg3lg2lg2aa，3lg7log7lg7lg3lg7lg2lg3bbab（这样lg3，lg7都可以用a,b,lg2表出，代入后便可以达到消元的目的）42lg563lg2lg73lg2lg23log56lg42lg2lg3lg7lg2lg2lg21ababaabaab解法二：事实上，如果把底数统一换成2或3的话，2log3a，3log7b两个式子中有一个不用变换底数，会比较方便，这里以3为例23311log3log2log2aa33342333313log563log2log73log561log42log2log3log711babaaabba（E18）题目条件给出的是3log2a，5log2b，一般来说，把底数换成2，3或5都可以使问题简化，这里以2为例（事实上，把底数换成3或5运算量更少）。32211log2log3log3