【复习资料】高等数学(下)

精选高等数学（下）第八章多元函数微分法及其应用一、基本概念1．多元函数（1）知道多元函数的定义n元函数：),,,(21nxxxfy（2）会求二元函数的定义域1°：分母不为0；2°：真数大于0；3°：开偶次方数不小于0；4°：uzarcsin或uarccos中||u≤1（3）会对二元函数作几何解释2．二重极限Ayxfyyxx),(lim00这里动点),(yx是沿任意路线趋于定点),(00yx的．（1）理解二重极限的定义（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）．3．多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim00PfPfPP．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。二、偏导数与全微分1．偏导数（1）理解偏导数的定义（二元函数）xyxfyxxfxzx),(),(lim00000yyxfyyxfyzy),(),(lim00000（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数．2．高阶偏导数（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．精选（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：xyzyxz22．3．全微分（1）知道全微分的定义若),(),(0000yxfyyxxfz可表示成)(oyBxA，则),(yxfz在点),(00yx处可微；称yBxA为此函数在点),(00yx处的全微分，记为yBxAdz．（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；（xzA，yzB；dyyzdxxzdz）偏导数存在，不一定可微（dzz是否为)(o）．偏导数连续，全微分必存在．（3）求方向导数、梯度．三、多元复合函数与隐函数求导法则1．多元复合函数的求导法则（1）xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法．2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形若0),(yxF确定了)(xyy，则yxFFdxdy；若0),,(zyxF确定了),(yxzz，则zxFFxz，zyFFyz．（2）方程组的情形若0),,(0),,(zyxGzyxF能确定)()(xzzxyy，则由精选可解出dxdy与dxdz；若0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF确定了),(yxuu，),(yxvv，像上边一样，可以求出xu，xv及yu，yv．四、多元函数微分法的应用1．几何应用（1）空间曲线的切线与法平面方程1°：曲线：)(tx，)(ty，)(tz，0tt时，上相应点),,(000zyx处的切线方程：)()()(000000tzztyytxx法平面方程：0))(())(())((000000zztyytxxt2°：曲线：)()(xzxy，则点),,(000zyx处的切线方程：000001()()xxyyzzxx法平面方程：00000()()()()()0xxxyyxzz3°：曲线：0),,(0),,(zyxGzyxF，则点),,(000zyxP处的切线方程为PyxyxPxzxzPzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx000法平面方程：0)()()(000zzGGFFyyGGFFxxGGFFPyxyxPxzxzPzyzy（2）空间曲面的切平面与法线方程1°：曲面：0),,(zyxF，点),,(000zyx处的切平面方程为：0)(),,()(),,()(),,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程：zyxFzzFyyFxx00000dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx精选2°：曲面：),(yxfz，在点),,(000zyx处的切平面方程为：)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx法线方程为：1000zzfyyfxxyx2．极值应用（1）求一个多元函数的极值（如),(yxfz）：先用必要条件00yzxz，求出全部驻点，再用充分条件求出驻点处的xxz，yyz与xyz；02BAC，0A时有极大值，0A时有极小值；02BAC时无极值．（2）求最值1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较；2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．如：),,(zyxfu在条件0),,(1zyx与0),,(2zyx下的极值时，取),,(),,(),,(),;,,(221121zyxzyxzyxfzyxF解方程组0000021zyxFFF，求出x，y，z则),,(zyx就是可能的极值点；再依具体问题就可判定),,(zyx为极大（或极小）值点．精选第九章重积分一、二重积分1．定义：niiiinDfdyxf1)(0),(lim),(2．几何意义：当),(yxf≥0时，Ddyxf),(表示以曲面),(yxfz为顶，以D为底的曲顶柱体体积．物理意义：以),(yxf为密度的平面薄片D的质量．3．性质1°：DDdyxfkdyxkf),(),(2°：DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),()],(),([3°：若21DDD，则21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf4°：1),(yxf时，DDdyxf),(5°：若在D上),(yx≥),(yx，则Ddyx),(≥Ddyx),(Ddyxf),(≥(,)Dfxyd6°：若),(yxf在闭区域D上连续，且m≤),(yxf≤M，则Dm≤Ddyxf),(≤DM7°：（中值定理）若),(yxf在闭区域D上连续，则必有点D),(，使DDfdyxf),(),(4．二重积分的计算法（1）在直角坐标系中1°：若积分区域D为X型区域D：)()(21xyxbxa则化为先y后x的二次积分：baxxDdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(O00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyxxOyx)(1xyya)(1xyba)(2xybX型区域)(2xy精选OX型区域xOyx)(1yxyc)(1yxdc)(2yxdY型区域)(2yxOY型区域rOrD极点在外D极点在的边界上D极点在的边界上rOD极点在外rOOrOD极点在内r2°：若积分区域D为Y型区域D：)()(21yxydyc则化为先x后y的二次积分：dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(（2）在极坐标系中)sin,cos(),(rrfyxf,rdrdd1°：极点在D外：D：)()(21r则有)()(21)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD2°：极点在D的边界上：D：)(0r则有)(0)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD3°：极点在D内：D：)(020r则有20)(0)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD在计算二重积分时要注意：1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有22yx或两个积分变量之精选OD极点在内yOxyzx),(2yxzzz),(1yxzz),(2yxzzxyD),(1yxzzOxyDyOxyzx0zDz2C0zD1C2C0z1C比xy、yx时，一般可选择极坐标系．2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）．3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性．4°：若)()(),(21yfxfyxf，积分区域D:dycbxa,则二重积分可化为两个定积分的乘积．二、三重积分1．定义：niiiiinvfdvzyxf1)(0),,(lim),,(2．物理意义：以),,(zyxf为密度的空间体的质量．3．性质（与二重积分类同）．4．三重积分的计算法（1）在直角坐标系中1°：若为：),(),(),(21yxzzyxzDyxxy此处xyD为在xOy面上的投影，),(1yxzz与),(2yxzz分别为的下界面和上界面方程，则xyDyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf),(),(21),,(),,(2°：若为：0),,(0201zDzyxCzC此处0zD为用平面0zz截时所得的截面面积，则210),,(),,(CCDzdxdyzyxfdzdxdydzzyxf（2）在柱面坐标系下精选若为：),(),()()(2121rzzrzr，则),(),()()(2121),sin,cos(),,(rzrzdzzrrfrdrddxdydzzyxf（3）在球面坐标系中若为：),(),(212121z，则212121),(),(2sin)cos,sinsin,cossin(),,(dfdddxdydzzyxf注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；4°：若是长方体：fzedycbxa，而)()()(),,(321zfyfxfzyxf，则三重积分化为三个定积分的乘积．三、重积分的应用1．几何应用（1）求面积：DDd（2）求体积：Ddyxf),(，dv（3）求曲面面积：若：),(yxfz，在xOy面上的投影为xyD，则的面积为：xyDdxdyyzxzA2212．物理应用（1）求质量：Ddyxm),(；dvzyxm),,(（2）求重心：Ddyxxmx),(1；Ddyxymy),(1在均匀情况下，重心公式可变形为：DDxdx1；DDydy1精选同理，可得到空间体的重心坐标．（3）求转动惯量：DxdyxyJ),(2；DydyxxJ),(2；yxoJJJ同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．第十章曲线积分与曲面积分一、曲线积分1．定义：（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：n