概率论第七章习题解答(全)

概率论第七章习题解答1、随机地取8只活塞，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002试求总体均值及方差2的矩估计值，并求样本方差2s。解1()EX22222()()[()]EXDXEX解得1，2221又81118iiAXX令1AX（一阶矩估计量）2222AX（二阶矩估计量）代入样本值，1(74.00174.00574.00374.0018x74.00073.99874.00674.002)74.002ˆ74.002，（一阶矩估计值）82211ˆ()8iixx22222221[(0.001)0.0030.001(0.001)0.002(0.004)(0.004)0]8即26648ˆ106108（二阶矩估计值）因为样本方差22211()1niiSXXn当8n时，822211()7iiSXX所以22661148ˆ()106.861077niisxx2、设12,,,nXXX为总体的样本，12,,,nxxx为一相应的样本值，求下列总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值。（1）(1),()0,cxxcfx其它，其中0c为已知，为未知参数。（2）1,01()0,xxfx其它，其中0，为未知参数。（3）{}(1)xxmxmPXxCpp，0,1,2,,xm，其中01p，p为未知参数。解（1）()()()cEXxfxdxxfxdx(1)ccxcxdxcxdx11|111ccccxc，而ˆX故1cX，解出，得(1)cX，()XcX，ˆ()XXc。矩估计值为ˆ()xxc（2）（1）10()()()EXxfxdxxfxdx11100xxdxxdx110|11x，由ˆX故1X，解出，得(1)X，(1)XX，21XX2ˆ(1)XX。（3）因为(,)Xbmp，所以()EXmp，解得ˆXpmm3、求下列各概率密度或分布律（1）(1),()0,cxxcfx其它，其中0c为已知，为未知参数。（2）1,01()0,xxfx其它，其中0，为未知参数。（3）{}(1)xxmxmPXxCpp，0,1,2,,xm，其中01p，p为未知参数各未知参数的极大似然估计和估计量。解（1）121(,,,,)()nniiLxxxfx(1)(1)11nnnniiiicxcx1ln(())lnln(1)lnniiLnncx1ln(())lnlnniidLnncxd令ln(())0dLd，即1lnln0niinncx解得1lnlnniinxnc1ˆlnlnniinxnc是未知参数的极大似然估计值1ˆlnlnniinXnc是未知参数的极大似然估计量。（2）121(,,,,)()nniiLxxxfx1)(1)211nnniiiixx1ln(())ln(1)ln2niinLx1ln(())1ln22niidLnxd令ln(())0dLd，即11ln022niinx解得111lnniixn，1lnniinx221ˆ(ln)niinx是未知参数的极大似然估计值221ˆ(ln)niinX是未知参数的极大似然估计量。（3）121(,,,,)(1)iiinxxmxnmiLxxxpCpp11()(1)nniiiiinxmxxmiCpp111ln(())lnln()ln(1)innnxmiiiiiLpCxpmxp令11ln(())11ln()01nniiiidLpxpmxdppp则有111(())nnniiiiiipmxxx，即1()niipnmx解得11111ˆniniiixpxxnmmnm这是未知参数p的极大似然估计值。1ˆpXm这是未知参数p的极大似然估计量4、（1）设总体X具有分布律X123kp22(1)2(1)其中（01）为未知，已取得了样本的值11x，21x，31x，试求矩估计值和最大似然估计值。（2）设12,,,nXXX是来自参数为的泊松分布，试求的最大似然估计量及矩估计量。（3）设随机变量X服从以r，p为参数的二项分布，其分布律为11{}()(1)kkxxrrkrPXxpp，,1,kxrr其中r已知，p为未知，试求p的最大似然估计值。解（1）22()4(1)3(1)32EX，3()2EX，而()EXX，故1(3)2X矩估计量为1ˆ(3)2X。又因为14(121)33x矩估计值为145ˆ(3)236。已知2{1}PX，{2}2(1)PX，2{3}(1)PX，构造X的概率函数因为(1)(3)2xx，当11x，21x，31x时，取值为1,2，3，而31(1)xx，当11x，21x，31x时，取值为2，(1)，2(1)所以(1)(3)31{}2(1)xxxxPXx，1,2,3x似然函数为(1)(3)31121(,,,)2(1)iiiinxxxxniLxxx111(1)(3)(3)(1)2(1)nnniiiiiiixxxx111(1)(3)32(1)nnniiiiiiixxnxxn111ln()(1)(3)ln2(3)ln()ln(1)nnniiiiiiiLxxnxxn11(3)()ln()01nniiiinxxndLd(1)(3)(1)xx（注11niixxn）23x，即32x3ˆ2X是的最大似然估计量。把样本的值11x，22x，31x代入，得43x，4353ˆ26是的矩估计估计值。解法二31231(){}{1}{2}{1}iiLPXxPXPXPX22(2(1))52(1)ln()ln25lnln(1)Lln()5101dLd解得56，即的矩估计估计值为5ˆ6。（备注：求矩估计值用此方法比较简明，但如果要求矩估计量，就不是太好的。）（2）（ⅰ）设12,,,nxxx是相应于12,,,nXXX的样本值，则似然函数为由于泊松分布是离散型随机变量，故只要把!kek中的变量k换成ix，则(,)!ixiiepxx），故111()!niiixnnxniiiieLexx11ln()lnln()nniiiiLnxx1ln()0niixdLnd，解得1niixn，即的最大似然估计值为x。的最大似然估计量为X。（ⅱ）求的矩估计量因为1()EX，而1X，故的矩估计量也是X。（3）1111(){}(1)kknnxxrrkrkkLpPXxCpp1111[](1)nkkknxrxnrrkCpp1111ln()ln()ln()ln(1)knnxrkkkLpCnrpxrp1ln()1()01nkkdLpnrxrdppp即11()1nkknrxnrpp，1nkknrpnrpxpnr11nkkrrpxxn得p的最大似然估计值为ˆrpxp的最大似然估计量为ˆrpX5、设某种电子器件的寿命（以h计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为()1,()0,tcetcft其它其中c，（,0c）为未知参数。自一批这种电子器件中随机地取n件作寿命试验，设它们的失效时间依次为12nxxx，（1）求与c的最大似然估计值。（2）求与c的矩估计值量。解（1）作似然函数()11(,)inxciLce111()()11nniiciixcxnnee111ln(,)lnniiLcnxnc若要(,)Lc取最大值，则要求c尽是大，而当ln(,)0Lcnc时，(,)Lc单调增加，一霎时，当c取最大值时，(,)Lc取最大值；而icx，1,2,,in（概率密度中要求tc，t取值为ix，1,2,,in）且12nxxx，故取1ˆcX又21ln(,)1()0niiLcnxnc21()niinxnc211()niixcn，因为0，所以11niixcxcn取1ˆXX，此即为的最大似然估计量。（2）求求与c的矩估计值量()1()()tccETtftdttedt()()|tctcccteedt（分部积分法）()|tcccec；①22()1()tccETtedtc（为了求()DT）2()()1|2tctccctetedt2()12tccctedt22()cC（由上一个积分得。）2222cC故222222()()(())22()DTETETcCc②联合①与②解得()DT，()()cETDT又21()()niiDTXXn（一阶中心矩）所以12211ˆ(())niiXXn12211ˆ(())niicXXXn6、一地质学家为研究密歇根湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录每个样品中属于石灰石的石子数，假设这100次观察相互独立，并且由过去的经验知，它们都是服从10m，p的二项分布。p是这地区一块石子是石灰石的概率，求p的最大似然估计值。该地质学家所得的数据如下：（表中数据的含义：第一行中说明的是每一个样品中所含有的石灰石的个数每次观察的结果，第二行中说明观察对100个样品作观察时其中含有上述各个石灰石数的观察次数即的频数，以2i为例，说明4100次观察（100个样品）中有6个样品是含有2块石灰石的，同样5i则说明在100个样品中有26个样品所含的石灰石的个数为5，如此等等。于是100次观察得到的总的石灰石的块数为上下两行对应之数乘积之和：共499，即在100个样本中，总共有石灰石块499块。）解设第i次试验观察到石灰石的石子数为ik，即12100,,,kkk是相应于样本12100,,,XXX的样本值，（这里有多个ik的取同个值）X的分布律为一样品中属石灰石的石子数i012345678910100个样品中有i块石灰石的样品个数0167232621123101010{}(1)kkkPXkCpp（01p）故其最大似然函数为10010101()(1)iiikkkiLpCpp1