求轨迹方程题型全归纳

1求轨迹方程的六种常用方法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例1．已知线段6AB，直线BMAM,相交于M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程。解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)AB，设点M的坐标为(,)xy，则直线AM的斜率(3)3AMykxx，直线BM的斜率(3)3AMykxx由已知有4(3)339yyxxx化简，整理得点M的轨迹方程为221(3)94xyx练习：1．平面内动点P到点(10,0)F的距离与到直线4x的距离之比为2，则点P的轨迹方程是。2．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于A、B两点，P是l上满足1PAPB的点，求点P的轨迹方程。3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线22．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例2．若(8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则ABC的重心轨迹方程是_______________。解：设ABC的重心为(,)Gxy，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得230203BGCG，而点(8,0),(8,0)BC为定点，所以点G的轨迹为以,BC为焦点的椭圆。所以由220,8ac可得2210,6abac故ABC的重心轨迹方程是221(0)10036xyy练习：4．方程222(1)(1)|2|xyxy表示的曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。例3．椭圆22142xy中,过(1,1)P的弦恰被P点平分,则该弦所在直线方程为_________________。解：设过点(1,1)P的直线交椭圆于11(,)Axy、22(,)Bxy，则有2211142xy①2222142xy②①②可得12121212()()()()042xxxxyyyy3而(1,1)P为线段AB的中点，故有12122,2xxyy所以12121212()2()210422xxyyyyxx，即12ABk所以所求直线方程为11(1)2yx化简可得230xy练习：5．已知以(2,2)P为圆心的圆与椭圆222xym交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。6．已知双曲线2212yx，过点(1,1)P能否作一条直线l与双曲线交于,AB两点，使P为线段AB的中点？4．转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律。例4．已知P是以12,FF为焦点的双曲线221169xy上的动点，求12FFP的重心G的轨迹方程。解：设重心(,)Gxy，点00(,)Pxy，因为12(4,0),(4,0)FF则有30003044yyxx，故yyxx3030代入19201620yx得所求轨迹方程2291(0)16xyy4例5．抛物线24xy的焦点为F,过点(0,1)作直线l交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形AFBR，试求动点R的轨迹方程。解法一：（转移法）设(,)Rxy，∵(0,1)F，∴平行四边形AFBR的中心为1(,)22xyP，将1ykx，代入抛物线方程,得2440xkx，设1122(,),(,)AxyBxy，则21212121216160||14444kkxxkxxkxxxx①∴222212121212()24244xxxxxxyyk，∵P为AB的中点.∴1222122222121kyyykxxx3442kykx，消去k得24(3)xy，由①得，||4x，故动点R的轨迹方程为24(3)(||4)xyx。解法二：（点差法）设(,)Rxy，∵(0,1)F，∴平行四边形AFBR的中心为1(,)22xyP，设1122(,),(,)AxyBxy，则有2114xy①2224xy②由①②得12121212()()4()4lxxxxyyxxk③而P为AB的中点且直线l过点(0,1)，所以1211322,22lyxyxxxkxx代入③可得34yxx，化简可得22124124xxyy④由点1(,)22xyP在抛物线口内，可得221()48(1)22xyxy⑤5将④式代入⑤可得222128(1)16||44xxxx故动点R的轨迹方程为24(3)(||4)xyx。练习：7．已知(1,0),(1,4)AB，在平面上动点Q满足4QAQB，点P是点Q关于直线2(4)yx的对称点，求动点P的轨迹方程。5．参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例6．过点(2,0)M作直线l交双曲线221xy于A、B两点，已知OPOAOB。（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线l，使OAPB矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解：当直线l的斜率存在时，设l的方程为(2)(0)ykxk，代入方程221xy，得2222(1)4410kxkxk因为直线l与双曲线有两个交点，所以210k，设1122(,),(,)AxyBxy，则22121222441,11kkxxxxkk①21212122244(2)(2)()4411kkkyykxkxkxxkkkk设(,)Pxy，由OPOAOB得212122244(,)(,)(,)11kkxyxxyykk∴2224141kxkkyk所以xky，代入241kyk可得241()xyyxy，化简得2240xyx即22(2)4xy②当直线l的斜率不存在时，易求得(4,0)P满足方程②，故所求轨迹方程为622(2)4(0)xyy，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）（2）平行四边OPAB为矩形的充要条件是0OAOB即12120xxyy③当k不存在时，A、B坐标分别为(2,3)、(2,3)，不满足③式当k存在时，222121212121212(2)(2)(1)2()4xxyyxxkxkxkxxkxxk2222222(1)(14)244011kkkkkkk化简得22101kk，此方程无实数解，故不存在直线l使OPAB为矩形。练习：8．设椭圆方程为1422yx,过点(0,1)M的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足)(21OBOAOP,点N的坐标为)21,21(,当l绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程；(2)||NP的最小值与最大值。9．设点A和B为抛物线24(0)ypxp上原点O以外的两个动点，且OAOB，过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程。6．交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例7．已知MN是椭圆12222byax中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。解1:(利用点的坐标作参数)令11(,)Mxy，则11(,)Nxy而(,0),(,0)AaBa.设AM与NB的交点为(,)Pxy因为,,AMP共线，所以axyaxy11因为,,NBP共线，所以axyaxy11两式相乘得22121222axyaxy①，而1221221byax即2)212(221axaby代入①得22222abaxx，即交点P的轨迹方程为12222byax解2:(利用角作参数)设(cos,sin)Mab，则(cos,sin)Nab7所以aabaxycossin,aabaxycossin两式相乘消去即可得所求的P点的轨迹方程为12222byax。练习：10．两条直线01yax和)1(01aayx的交点的轨迹方程是_________。总结归纳1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明,xy的取值范围。2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。8练习参考答案1．22(2)11648xy2．解：设P点的坐标为(,)xy，则由方程2224xy，得242xy由于直线l与椭圆交于两点A、B，故22x即A、B两点的坐标分别为2244(,),(,)22xxAxBx∴2244(0,),(0,)22xxPAyPBy由题知1PAPB即2244(0,)(0,)122xxyy∴22412xy即2226xy所以点P的轨迹方程为221(22)63xyx3．D【解析】在长方体1111ABCDABCD中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与11DC是异面垂直的两条直线，过直线AD与11DC平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点(,)Mxy满足到直线AD与11DC的距离相等，作1MMMP于1M，MNCD于N，11NPDC于P，连结MP，易知MN平面111,CDDCMPDC，则有1MMMP，222||yxa(其中a是异面直线AD与11DC间的距离)，即有222yxa，因此动点M的轨迹是双曲线，选D.4．A5．解设(,)Mxy，1122(,),(,)AxyBxy则12122,2xxxyyy，由myx21221，myx22222两式相减并同除以12()xx得．MO．PBAyx9121212121122yyxxxxxyyy,而1212AByykxx22PMykx,又因为PMAB所以1ABPMkk12122xyyx化简得点M的轨迹方程240xyxy6．先用点差法求出210xy，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中