概率统计作业解答

《概率论与数理统计》作业解答第一章概率论的基本概念习题（P24-28）1.写出下列随机试验的样本空间S：(1)记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）.(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数.(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查.记录检查的结果.(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.分析要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果.解(1)我们考察一个班数学考试平均分的所有可能.为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数.设该班有n个学生，则全班总分的所有可能为0到100n的所有整数i.其平均分为in.故，所求样本空间为：:1,2,,100iSinn.(2)由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数.故所求样本空间为：10,11,12,S.(3)若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为：00,100,0100,0101,0110,0111,1010,1011,1100,1101,1110,1111S(5)所求样本空间为：22(,):1Sxyxy2.设,,ABC为三个事件，用,,ABC的运算关系表示下列各事件：(1)A发生，B与C不发生.(2)A与B都发生，而C不发生.(3),,ABC至少有一个发生.(4),,ABC都发生.(5),,ABC都不发生.(6),,ABC不多于一个发生.(7),,ABC不多于两个发生.(8),,ABC至少有两个发生.分析本题只要掌握事件运算的概念即可解决.解(1)“A发生，B与C不发生”＝ABC(或ABC)(2)“A与B都发生，而C不发生.”＝ABC(或ABC)(3)“,,ABC至少有一个发生”＝ABC.(4)“,,ABC都发生”＝ABC(5)“,,ABC都不发生”＝ABC(6)“,,ABC不多于一个发生”＝ABCABCABCABC(7)“,,ABC不多于两个发生”＝ABC(8)“,,ABC至少有两个发生”＝ABACBC.第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布分析本题只要掌握随机变量独立性概念及公式：,)~(,)XYfxyZXY（的密度为：()(,)d(,)dZfzfxzxxfzyyy解由已知，112()eee,,1,,)~(,)0,xyxyxyXYfxy其它（故2(())21111()(,)dededxzxzZxxzxxzfzfxzxxxx12210,12ede(2),12zzzzzxzzz即即≤1,≤1,第四章随机变量的数字特征（P110-115）分析本题只要掌握下列有关公式：(,)()()XYCovXYDXDY，(,)()()()CovXYEXYEXEY()()()2(,)DXYDXDYCovXY22()()()DXEXEX2[(,)](,)(,)ddREgXYgxyfxyxy可见，要先求,XY的一阶矩和二阶矩.为此，可以先求,XY的边缘密度.解2011()d(1),02,()(,)d840,Xxyyxxfxfxyy≤≤其它2011()d(1),02,()(,)d840,Yxyxyyfyfxyx≤≤其它222232000111117()()dd()d444326xEXxfxxxxxxxxx2222223243000111115()()dd()d444433xEXxfxxxxxxxxx故2225711()()()3636DXEXEX同理，由对称性得，7()6EY，25()3EY，11()36DY.202022200()(,)dddd814=d()d83xRyxyEXYxyfxyxyxyxyxxyxyy≤≤≤≤故4771(,)()()()=36636CovXYEXYEXEY1(,)13611()()11113636XYCovXYDXDY111115()()()2(,)23636369DXYDXDYCovXY.注本题中，由于()()(,)XYfxfyfxy，故,XY不相互独立.注本题中，若联合密度改为联合分布律：XY0101/61/311/31/6，重算结果.第五章大数定律及中心极限定理知识点复习1.若12,,,,nXXX是独立同分布的随机变量序列，2(),()iiEXDX，则当n充分大时，12nXXX近似服从正态分布2(,)Nnn.2.由于~(,)XBnp12nXXXX其中~(1,),1,iXBpin且相互独立，(),(),(1)iiEXpDXpqqp.故由如上中心极限定理得：当n充分大时，~(,)XBnpX近似服从正态分布(,)Nnpnpq.第六章样本及抽样分布知识点复习3.若12,,,nXXX是来自正态总体2~(,)XN的一个样本，则其样本均值2~(,)XNn.4.若12,,,nXXX是来自标准正态总体~(0,1)XN的一个样本，则称统计量222212nXXX为自由度为n的2统计量，记为2222212~()nXXXn5.若12,,,,nXXXY是来自标准正态总体~(0,1)XN的一个样本，则称统计量2()/YTnn为自由度为n的t统计量，记为~()Ttn第七章参数估计2.设总体X概率密度为1,01,()0,xxfx其它,≤≤其中(0)为未知参数，12,,,nxxx是来自总体X的样本12,,,nXXX的观察值，试求未知参数的（1）矩估计量；（2）极大似然估计值.解：（1）由矩估计法，令111001102()()ddd1111111XEXxfxxxxxxxXXxXXX比例性质：两边分母同减去分子即得参数的矩估计量.（2）由已知，观察值：120,,,nxxx≤≤1，故似然函数为12()()()()nLfxfxfx11112()()()nxxx112()()nnxxx达最大，即取自然对数后：()ln()gL12ln(1)ln()2nnxxx达最大1211()ln()022nngxxx得唯一驻点2212ˆln()nnxxx（即最值点）即为参数的0极大似然估计值.