概率统计计数原理

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第十章概率统计10.1计数原理1、分类计数原理(加法原理)2019年连淮扬镇铁路开通之后,从连云港到扬州可以乘火车,也可以乘汽车,若一天中火车有3班,汽车有2班,那么一天中,乘这些交通工具从从连云港到扬州共有多少种方法?分析:因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,每一种走法都可以从连云港到扬州,所以,共有3+2=5种不同的走法。分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有𝒎𝟏种不同的方法,在第二类办法中有𝒎𝟐种不同的方法,…,在第n类办法中有𝒎𝒏种不同的方法,无论通过哪类的哪种方法,都可以独立完成这件事情那么完成这件事共有𝑵=𝒎𝟏+𝒎𝟐+⋯+𝒎𝒏种不同的方法。例1书架上有不同的数学书10本,不同的语文书11本,不同的英语书9本,现从中任取1本,问:有多少种不同的选法?解从书架上任取1本书可能是数学书、语文书、英语书,有三类取法:第一类,取出一本数学书,可以从10本书中任取一本,有𝑚1=10种取法;第二类,取出一本语文书,可以从11本书中任取一本,有𝑚2=11种取法;第三类,取出一本英语书,可以从9本书中任取一本,有𝑚3=9种取法;只需在书架上任取一本,即可完成任务,根据分类计数原理,不同的取法共有𝑁=𝑚1+𝑚2+𝑚3=10+11+9=30(种)例2在某批电器产品中,国有电器有97件,进口电器有23件,从中任取一种质检,共有多少种不同的取法?解该批电器可以分为国产和进口两类,从中任取1件即完成任务,从国产电器中抽取1件有97种取法,从进口电器中抽取1件有23种取法,所以不同的取法共有𝑁=97+23=120(种)问题解决在由电键组A与B所组成的并联电路中,如图,要接通电源,使电灯发光的方法有多少种?2、分步计数原理某人决定从连云港坐火车到扬州,再于次日从扬州乘汽车到镇江,一天中,火车有3班,汽车有2班,那么两天中,他从连云港到镇江共有多少种不同的走法?分析:因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,所以,从连云港到镇江需乘一次火车再接着乘一次汽车就可以了,共有6种不同走法。分步计数原理:做一件事情,完成它需要𝒏个分成步骤,做第一步办法中有𝒎𝟏种不同的方法,做第二步有𝒎𝟐种不同的方法,…,做第𝒏步有𝒎𝒏种不同的方法,必须经过每一个步骤才能完成这件事情,那么完成这件事共有𝑵=𝒎𝟏·𝒎𝟐∙…∙𝒎𝒏种不同的方法。例3由1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字两位数?解组成没有重复数字的两位数,可以先确定十位上的数字,再确定个位数上的数字,分为两个步骤:第一步,从数字1,2,3,4,5任取一个数,作为十位上的数字,有𝑚1=5种选法;第二步,从剩余的四个数字中选取一个数,作为个位上的数字,有𝑚2=4种选法。以上两步依次完成,才能组成一个数,依据分步计数原理,共可以组成N=5x4=20个没有重复数字的两位数。例4两个袋子中分别装有3个红球和4个白球,从中取出1个红球和1个白球,共有多少种不同的取法?解要两个袋子中分别取出1个红球和1个白球,可以分为两个步骤:第一步,从装有红色的球袋中取出1个红球,有𝑚1=3种取法;第二步,从装有白色的球袋中取出1个白球,有𝑚2=4种取法以上两步依次完成,任务即完成,依据分步计数原理,共可以组成例5某校评选的优秀毕业生中,加工制造类有10人,土木建筑类有8人,商贸财经类的有5人,宾馆服务类有6人.(1)从这4类专业中选出1名优秀毕业生出席全省优秀毕业生表彰会有多少种不同的选法?(2)从这4类专业中各选出1名优秀毕业生,参加优秀毕业生报告会,有多少种不同的选法?解(1)根据分类计数原理,所有不同选法的种数为N=10+8+5+6=29.(2)根据分步计数原理,所有不同选法的种数为N=10x8x5x6=2400.总结:在做这类题时,首先要牢固掌握分类计数原理、分步计数原理,另外还要注意题中的隐含条件

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