苏锡常镇2020届高三年级第三次模拟考试数学试卷

苏锡常镇2020届高三年级第三次模拟考试数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合A＝{1，2}，B＝{－1，a}，若A∪B＝{－1，a，2}，则a＝________．2.若复数z满足(1－i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．3.某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是________．(第3题)(第4题)(第9题)4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为________．5.某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的．若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为________．6.函数f(x)＝2－x＋lnx的定义域为________．7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线x2a2－y24a＝1的顶点，则a＝________．8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝5S2，a2＝2，则a4＝________．9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C-MBD的体积为________．10.已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为2，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x＋a，0≤x≤12，bx－1x＋1，12x≤1，则a＋b＝________．11.已知锐角α满足sin2α－2cos2α＝－1，则tanα＋π4＝________．12.如图，在△ABC中，∠ABC＝π2，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另一侧作正三角形ACD，则BD→·AC→＝________．13.在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限．圆O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且OM→＋O1N→＝0，则a的取值范围为________．14.已知a，b∈R，a＋b＝t(t为常数)，且直线y＝ax＋b与曲线y＝xex(e是自然对数的底数，e≈2.71828…)相切．若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin2A＝asinB.(1)求A的值；(2)求cosB＋π6＋sinC＋π3的最大值．16.(本小题满分14分)已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，DA1＝DD1，E，F分别为线段A1D1，BC的中点．求证：(1)EF∥平面CC1D1D；(2)AC⊥平面EBD.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于A，B两点．已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求点Q的坐标．18.(本小题满分16分)某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路(由线段MP，PQ︵，线段QN三段组成)，其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，PQ︵所对的圆心角为π6.记∠PCA＝2θ(道路宽度均忽略不计)．(1)若θ＝5π12，求QN的长度；(2)求新路总长度的最小值．19.(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对任意n∈N*，anSn＋1－an＋1Sn＝2an＋1－2an恒成立．(1)求证：数列Sn＋2an是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋4n－3，已知b2，bi，bj(2＜i＜j)成等差数列，求正整数i，j的值．20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(m－1)x＋lnx，g(x)＝(m－2)x2＋(n＋3)x－2，m，n∈R.(1)当m＝0时，求函数f(x)的极值；(2)当n＝0时，函数F(x)＝g(x)－f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，求m的取值范围；(3)当n＞0时，判断是否存在正数m，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点，并说明理由．数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知点M(2，1)在矩阵A＝1ab2对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝sinα(α为参数)．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝10.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．C.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a，b，c是正数，求证：对任意x∈R，不等式||x－2－||x＋1≤ba＋cb＋ac恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.(本小题满分10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，M是棱PD的中点．(1)求二面角M-AC-D的余弦值；(2)N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为32222，求PNPC的值．23.(本小题满分10分)已知在数列{an}中，a1＝6，an＋1＝13a2n－an＋3(n∈N*)．(1)分别比较下列每组中两个数的大小：①a2和6×32；②a3和6×323；(2)当n≥3时，证明：∑ni＝2ai62i232n－3.数学参考答案1.12.03.304.－15.26.(0，2]7.18.2或89.2410.011.212.413.(22，4)14.{e}∪(－∞，－5e－2)15.(1)因为bsin2A＝asinB，所以2bsinAcosA＝asinB，所以由正弦定理asinA＝bsinB，得2bacosA＝ab.(3分)因为ab≠0，所以cosA＝ab2ab＝12.又因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(6分)(2)由(1)得A＝π3，又A＋B＋C＝π，所以C＝2π3－B，B∈0，2π3，所以cosB＋π6＋sin(C＋π3)＝cosBcosπ6－sinBsinπ6＋sin(π－B)＝12sinB＋32cosB＝sinB＋π3.(11分)因为0B2π3，所以π3B＋π3π，所以当B＋π3＝π2，即B＝π6时，sinB＋π3取最大值1，所以cosB＋π6＋sinC＋π3的最大值为1.(14分)16.(1)连结CD1，由题意得四边形A1B1C1D1，BB1C1C是平行四边形，所以A1D1∥B1C1，BC∥B1C1，且A1D1＝B1C1，BC＝B1C1.又因为E，F分别为线段A1D1，BC的中点，所以ED1∥FC，ED1＝FC，所以四边形ED1CF是平行四边形，(3分)所以EF∥CD1.又因为EF⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以EF∥平面CC1D1D.(6分)(2)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形AA1D1D是平行四边形，所以AD∥A1D1.在△DA1D1中，DA1＝DD1，E为线段A1D1的中点，所以DE⊥A1D1.又因为AD∥A1D1，所以DE⊥AD.(8分)又因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，DE⊂平面A1ADD1，所以DE⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC.(11分)因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又因为BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面EBD，所以AC⊥平面EBD.(14分)17.(1)由椭圆C：x2a2＋y2b2＝1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3，得ca＝12，a2c－c＝3，解得c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，(4分)所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(5分)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当四边形OAQB是平行四边形时，则OQ→＝OA→＋OB→.当直线l的斜率不存在时，直线l过原点O，此时O，A，B三点共线，不符合题意；(7分)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，与椭圆方程联立有y＝kx＋1，x24＋y23＝1，所以x24＋（kx＋1）23＝1，即(3＋4k2)x2＋8k2x－8＝0，所以Δ0，x1＋x2＝－8k3＋4k2，所以y1＋y2＝63＋4k2.(10分)将点Q(x1＋x2，y1＋y2)的坐标代入椭圆方程得－8k3＋4k224＋63＋4k223＝1，化简得k2＝14，所以k＝±12，符合题意，(13分)所以点Q的坐标是±1，32.(14分)18.(1)因为PQ︵所对的圆心角为π6，θ＝5π12，所以∠PCQ＝π6，∠PCA＝2θ＝5π6.又因为∠BCA＝π2，所以∠BCQ＝2π－5π6－π2－π6＝π2，所以在四边形BCQN中，∠BCQ＝∠CBN＝∠CQN＝π2，所以四边形BCQN是矩形，所以QN＝CB＝1，故QN的长为1千米.(4分)(2)PM＝tan∠PCA2＝tanθ，∠BCQ＝4π3－2θ，NQ＝tan∠BCQ2＝tan2π3－θ，PQ︵的长为π6，(6分)所以PM＋NQ＝tanθ＋tan2π3－θ＝tanθ＋tan2π3－tanθ1＋tan2π3tanθ＝tanθ＋－3－tanθ1－3tanθ，即PM＋NQ＝tanθ＋3＋tanθ3tanθ－1＝tanθ＋1＋33tanθtanθ－33，(9分)其中θ∈π6，π2，tanθ∈33，＋∞，tanθ－33∈(0，＋∞)，(11分)所以PM＋NQ＝tanθ－33＋43tanθ－33＋233≥2tanθ－33·43tanθ－33＋233＝23，(14分)当且仅当tanθ－33＝43tanθ－33，又θ∈π6，π2，即θ＝π3时取等号，(15分)所以当∠PCA＝2π3时，新路总长度的最小值为23＋π6千米．(16分)19.(1)S1＋2a1＝2＋22＝2，因为anSn＋1－an＋1Sn＝2an＋1－2an，所以anSn＋1＋2an＝an＋1Sn＋2an＋1.又因为an0，两边除以anan＋1得Sn＋1＋2an＋1＝Sn＋2an，所以Sn＋1＋2an＋1－Sn＋2an＝0，n∈N*，所以数列Sn＋2an是首项为2，公差为0的等差数列，所以Sn＋2an＝2，(3分)则Sn＋2＝2an，Sn＋1＋2＝2an＋1，两式作差得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，所以an＋1＝2an.又因为an0，所以an＋1an＝2，n∈N*，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.(7分)(2)bn＝2n＋4n－3，由b2，bi，bj成等差数列得2bi＝b2＋bj，即2(2i＋4i－3)＝9＋2j＋4j－3，整理得2i