2015-2016学年人教A版必修四 三角函数模型的简单应用 课件 (25张)

本节课以三角函数各种实践生活中的模型让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用.)0,0()sin(AxAy正弦型函数1、物理情景——①简谐运动②星体的环绕运动2、地理情景——①气温变化规律②月圆与月缺3、心理、生理现象——①情绪的波动②智力变化状况③体力变化状况4、日常生活现象——①涨潮与退潮②股票变化…………例1如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数:sin()yAxbT/℃102030ot/h61014思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？思考2：函数式中A、b的值分别是多少？30°-10°=20°A=10,b=20.思考3：如何确定函数式中和的值?12146,2.86,10.xy3将代入上式，解得＝4例1如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数:sin()yAxbT/℃102030ot/h61014思考4：这段曲线对应的函数是什么？思考5：这一天12时的温度大概是多少（℃）？27.07℃.310sin()20,6,1484yxx综上，所求解析式为一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.方法小结：maxmin1,2Afxfxmaxmin12bfxfx2T利用求得，,利用最低点或最高点在图象上该点的坐标满足函数解析式可求得,注意通常函数的最小值是2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.sin(),(0,0,||)2yAxA12sin()36yx练习1：练习2.函数f(x)=2sin(ωx+)ππ0,22的部分图象如图所示,则ω、的值分别是()(A)2,-π3(B)2,-π6(C)4,-π6(D)4,π3A解析:借助三角函数的图象和性质求解.∵2T=1112π-512π,∴T=π.又T=2π(ω0),∴2π=π,∴ω=2.由五点作图法可知当x=512π时,ωx+=π2,即2×512π+=π2,∴=-π3.故选A.例2如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是＝90º－|－|.当地夏半年取正值，冬半年取负值.太阳光太阳光90||地心北半球南半球太阳高度角的定义如图，设地球表面某地纬度值为，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是。当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值。90||o太阳光9090||90||o地心太阳光直射南半球分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知ABCH如果在北京地区（纬度数约为北纬40º）的一幢高为H的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于多少？解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义，有∠C=90º-|40º-(-23º26')|=26º34'所以，'2.000tantan2634HHMCHC即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:理解题意建立三角函数模型求解还原解答例3海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米）0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值.（精确到0.001）（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？根据图象，可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：sin()yAxh解：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.24211815129637.502.505.000A=2.5,h=5,T=12,=0;212T由，得.6所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：2.5sin56yx由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754（2）货船需要的安全水深为4+1.5=5.5（米），所以当y≥5.5时就可以进港.令化简得2.5sin55.56xsin0.26x由计算器计算可得0.2014,0.201466xx或xx3691215182124Oy246ABCD解得0.3848,5.6152ABxx因为，所以由函数周期性易得[0,24]x120.384812.3848,125.615217.6152.CDxx因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右.（3）设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算可得，在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.敬请指导.