ch12-1二重积分的概念和性质

第12章重积分§12.1二重积分的概念与性质•二重积分问题的产生•二重积分的定义•二重积分的性质柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.),(yxfzD引例１．曲顶柱体的体积一、问题的产生播放求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第一步：分割分成用有限条曲线把区域D个小闭区域：nn,,,21个小曲顶柱体，为底作以ni．体积为),,2,1(niVi于是niiVV1第二步：近似代替，),,2,1(),(niiii则有iiiifV),(，),,2,1(ni第三步：求和niiVV1niiiif1),(第四步：取极限，者为个小区域的直径的最大记n，取极限令0niiiif10),(lim．VxzyoD),(yxfzi),(ii设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？引例２．求平面薄片的质量i),(iixyo第一步：分割．小区域：分成把nnD,,,21第二步：近似代替，),,2,1(),(niiii则有iiiim),(，),,2,1(ni第三步：求和niimM1niiii1),(第四步：取极限，者为个小区域的直径的最大记n，取极限令0niiii10),(lim．M定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，二、二重积分的定义积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10.积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素(2)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.对二重积分定义的说明：.,.,)1(唯一确定和积分区域函数它由被积表示一个数二重积分DyxfdyxfD(3)在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd故二重积分可写为则面积元素为xyoD(5)二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．DDDDdsdttsfdudvvufdxdyyxfdxdyyxf),(),(),(,),()4(即与积分变量无关积分.,,,)(1上有界在则上可积在有界闭区域若函数可积的必要条件定理DyxfDyxf.,,,)(2上可积在则上连续在有界闭区域若函数可积的充分条件定理DyxfDyxf性质１当为常数时，.),(),(DDdyxfdyxf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf性质４D若为D的面积，.1DDddD性质５若在D上),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf特殊地.),(),(DDdyxfdyxf)(21DDD则有设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，D为D的面积，则性质６设函数),(yxf在闭区域D上连续，D为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质７（二重积分中值定理）DDMdyxfDm),(DfdyxfD),(),(（二重积分估值不等式）．平面上的有界闭区域设给定例}1|),{(122yxyxDxOy上可积．在试说明Dyxz221并利用几何意义求出二重积分：．Dyxd122解上连续，在区域由于Dyxz221上可积．在所以函数Dz义，根据二重积分的几何意可知Dyxd122，表示半径为1的上半部分，球心位于坐标原点的球面上面的部分．即xOy所以Dyxd12231342132例2,d),(5),(,1:22DyxfyxfyxD设区域.d),(Dyxf求解,d),(DyxfA设,5),(Ayxf则DAA)d5(DAd)5(,)5(A解得.15)d,(DyxfA例3估计DxyyxdI16222的值，其中D：20,10yx.区域面积2D,,16)(1),(2yxyxf在D上),(yxf的最大值)0(41yxM),(yxf的最小值5143122m)2,1(yx故4252I.5.04.0I解例4比较积分Ddyx)ln(与Ddyx2)][ln(的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解三角形斜边方程2yx在D内有eyx21,故1)ln(yx,于是2)ln()ln(yxyx,因此Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(.oxy121D例5函数yxf,连续,求Drdyxfr,1lim20，其中D:222ryx.区域面积2rD,DfdyxfD),(),(解dyxfrDr,1lim20220,1limrfrr0,0,lim0ffr