[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲：一般形式的柯西不等式1课时

.,,,,,,等号成立时当且仅当则都是实数若二维形式的柯西不等式定理bcadbdacdcbadcba222221.,,,,||||||,,等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当则个向量是两设式的向量形式等柯西不定理kk2复习一般形式的柯西不等式二虎林高级中学栾红民.,,,,,是三维的形式空间向量的坐标是二维形式平面上向量坐标我们知道zyxyx?,,么结论呢关于柯西不等式会有什问题从三维的角度思考联系前一节的内容思考xyo21aa,12,bbxyo321aaa,,123,,bbbz123.图xyo21aa,12,bbxyo321aaa,,123,,bbbz123.图222221212112212213.21,||||||.,,,.aabbabababab观察图从平面向量的几何背景能得到将平面向量的坐标代入化简后得二维形式的柯西不等式当且仅当时等号成立,,.||||||,2332211232221232221babababbbaaa化简得将空间向量的坐标代入也能得到从空间向量的几何背景类似地①.,,,,,,,等号成立时得使或存在一个数即共线时当且仅当3210ikbakii.等式叫做三维形式的柯西不我们把不等式①?,西不等式吗能猜想出一般形式的柯你式柯西不等式对比二维形式和三维形探究.,222112222122221nnnnbabababbbaaa为柯西不等式的一般形式我们猜想②?如何证明以上猜想.,,我们采用下面的证法并比较左右比较麻烦直接展开中括号内含较多的项由于不等式,,nnnbababaBaaaA221122221如果设,22221nbbbC,,2BAC就是不等式那么.,.不等式应的判别式来证明并通过讨论相二次函数这就启发我们可以构造密切相关判别式这正好与二次函数ACBCBxAxy44222.式显然成立时或当证明002121nnbbbaaa②,,,,,002222121nnaaaaaa则中至少有一个不为当考虑二次函数.2222122112222212nnnnbbbxbababaxaaaxf,,02212211nnbxabxabxaxfx因为对于任意实数即的判别式所以二次函数,0xf.044222212222122211nnnnbbbaaabababa.,,,以上不等式取等号判别式零点时有唯一当且仅当于是得0222112222122221xfbabababbbaaannnn.,,,,,nibxaxii210使有唯一实数此时.,,由此再利用判式方和出现了后面的平了配方这里构造的函数考虑到于是有得知猜想成立通过以上证明,,nibi,,,,210当且仅当总之.,;,,iinbxaxbbbx100021则有若式成立则若.,,,,等号成立时或nikbaii21②.),,(,),,,(,,,,,,,,,,,时等号成立使得或存在一个数当且仅当则是实数设定理nikbaknibbabababbbaaabbbbaaaaiiinnnnnn21210222112222122221321321以上不等式称为.一般形式的柯西不等式.??们自己进行探究请同学不等式证明它何应用一般形式的柯西如怎样的形式的三角不等式应是一般探究.西不等式的一些应用下面介绍一般形式的柯.,,,,222212212111nnnaaaaaanaaa求证是实数已知例.,,这就引出证明思路式显符合柯西不等式的形能使式子变成明乘要证的式子的两边用分析n,22122221nnaaaaaan所以.222212211nnaaaaaan即根据柯西不等式有证明,22122221222111111nnaaaaaa个n调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数附：介绍平均数不等式naaan11121nnaaa21naaan22221naaan21•练习41页32222221231232112233()()()aaabbbababab小节1.（三维形式的柯西不等式）:22222212n12n21122(...)(...)(...)nnaaabbbababab定理设nnbbbbaaaa,...,,,,,...,,,321321是实数，则当且仅当(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得(i=1,2,…,n)时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。0ibiikba2.（n维形式的柯西不等式）:).,...,2,1,,()(...)()(......)()()(22222112222122221221221221222222212121niRyxyxyxyxyyyxxxzzyyxxzyxzyxiinnnn3.一般形式的三角不等式•作业41页1.,,.,应用它就能更灵活地掌握它的结构特点式柯西不等解正确理解往往是简明的用柯西不等式对于许多不等式问题