全国通用2017届高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数2.3二次函数与幂函数课件理

§2.3二次函数与幂函数高考理数1.二次函数的图象和性质知识清单f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)图象  定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域  单调性在x∈ 上单调递增,在x∈ 上单调递减在x∈ 上单调递增,在x∈ 上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数顶点坐标 对称性图象关于直线x=- 对称24acb,4a24acb,4ab,2ab,2ab,2ab,2a2b4acb,2a4ab2a2.幂函数的图象在同一平面直角坐标系下,五个常见的幂函数:y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象如图所示. 3.幂函数的性质12x解析式y=xy=x2y=x3y= y=x-1定义域RRR[0,+∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减过定点(0,0),(1,1)(1,1)12x方法1三个“二次”问题的处理方法1.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”.它们常结合在一起,而二次函数又是其核心.因此,利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.如一元二次方程根的分布问题常借助二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方面入手处理.2.二次函数的最值问题一般有三个类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,一般与图象的开口方向、对称轴位置有密切关系,解题的关键是弄清或分类讨论轴与区间的位置关系.例1(2012福建,15,4分)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b= 设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是.解析函数f(x)= 的图象如图所示.22,,,.aababbabab222,0,,0xxxxxx突破方法 设y=m与y=f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1、x2、x3.由y=-x2+x=- + ,得顶点坐标为 .当y= 时,代入y=2x2-x,得 =2x2-x,解得x= (舍去正值),∴x1∈ .又∵y=-x2+x的对称轴为x= ,∴x2+x3=1,且x2,x30,∴0x2x3 = .212x1411,24141413413,04122232xx14又∵0-x1 ,∴0-x1x2x3 ,∴ x1x2x30.答案 1-1(2015广西河池一模,12,5分)设函数f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若存在x0∈R,使得f(x0)0与g(x0)0同时成立,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,2)B.(0,4)C.(6,+∞)D.(7,+∞)答案D解析当a=0时,g(x)=0,不存在g(x0)0;当a0时,g(x)=ax-2a单调递减且过点(2,0),当x2时,g(x)=ax-2a0,而x2时,f(x)7-a0,不存在f(x0)0,当a0时,g(x)=ax-2a单调递增且过点(2,0),当x2时,g(x)=ax-2a0,而存在x02,使得f(x0)0可转化为不等式x2-ax+a+30在(-∞,2)上有解,当 2,即0a4时,此时需满足f =- +a+30,解得a6(舍)或a-2(舍),3143116131613,0162a2a24a当 ≥2,即a≥4时,此时需满足f(2)=7-a0,解得a7,综上,实数a的取值范围为(7,+∞),故选D.1-2已知函数f(x)=8x2-(m-1)x+m-7.求m取何值时,函数的零点分别满足下列条件:(1)均为正数;(2)一个零点大于2,另一个零点小于2.解析设方程f(x)=0的两根分别为x1,x2.(1)解法一:方程f(x)=0的两根均为正数,则 即 解得7m≤9或m≥25.解法二:方程f(x)=0的两根均为正数,即均大于0,2a12120,0,0,Δxxxx2(1)32(7)0,10,870,8mmmm则 即 解得7m≤9或m≥25.(2)方程f(x)=0有两根,一根大于2,另一根小于2,其大致图象如图,则f(2)0,即8×22-2(m-1)+(m-7)0,所以m27. 0,(0)0,0,2Δfba2(1)32(7)0,70,10,16mmmm方法2幂函数的图象及性质的应用研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=xα(α∈R)的相关性质,再辅之以数形结合的手段,这类问题就会迎刃而解.例2(2015甘肃兰州二模,4,5分)幂函数y=f(x)的图象经过点 ,则f 的值为 ()A.1B.2C.3D.4解析设幂函数为y=xα(x∈R),∵幂函数的图象经过点 ,∴ =4α,∴α=- ,∴y= ,则f = =2.故选B.答案B2-1(2016河南偃师中学4月月考,7,5分)幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成了八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),那么幂函数y= 的图象经过的14,21414,2121212x14121412x“卦限”是 ()A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤答案D解析幂函数y= 的图象形状是上凸形,在(0,1)上图象在y=x的上方,在(1,+∞)上图象在y=x的下方,故可知y= 的图象经过的“卦限”是①⑤.12x12x