2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第7章 第45讲 简单复合函数的导数

21.111yxxx函数在处的导数为2121114.xyxxxy，　解析：因为451213yx　432.1.1yx的导数等于　④222112cos22sin4211sincos221sin.232.yxyxyxyxxyx下列函数：①；②；③；④，其中导数不等于的是　　2211(2cos2)0sin224411sin22sin2.4211(2sin)02sinsin22112sincossin2.2211(sin)2sinsin22112sincossin2.22yxxxxxyxxxxxxyxxxxxx解①②③析：211(cos)12coscos221112cossin1sin2.221sin2.2yxxxxxxxyx④故④的导数不等于①324131213213113..fxxxfxxfxxfxxx下列函数①；②；③；④，其中在处的导数为的是　　3221313131321322134111.13.fxxxfxxxfxxfxfxxfxxfxxfxx当时，，在处的导数为；当时，；当时，【解；当时，故在处析的导数为的是①】简单复合函数322122sin.yxyx试说明下列函数是怎样复合而成的？；【例1】3232221222sinsinyxyuuxyxyuux（）函数由函数和复合而成．函数由函数和复合而成．【解析】讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．21cos12lnln.yuuxyuux写出由下列函数复合而成的函数：，；，21cos12lnlnyxyx（）．．1【变式练习】【解析】简单复合函数的求导212121211e21(21).0,111xafxxaxaaxxgxxxxfxgxa设＞，，若存在，，使得，求的取值范围．【例2】1213442e1e101101110.xxfxxaxaxxxaxxaax由，得，所以，，因为＞，所以＜(1)1,1(1)112.xaxaxxaxa所以当，时，函数单调增，时，函数单调减，，时，函数单调增，所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，为同理，由【解析】22561212(212)(1)[(21)(21)](1)=002.(2)2,0(0)2021.0,11221axxaaxxgxxxxxxxxxaxxfxgxaa得，所以当，时，函数单调减，时，函数单调增，，时，函数单调减，所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，为因为，，所以要使，只需13124.aa，所以，所以1212 0,1|?  |1|2(21)|1xxfxgxaa要牢记微积分基本定理．利用复合函数的导数，研究函数的单调性，从而研究函数的极值．将，，使得恒成立问题转化为是解决问题的关键．1sin2sin3(3).6fxaxxaxa已知为常数在处取得极值，则等于__________　2cos2cos3()2coscos006320.fxaxxfaaa因为，所以，解得01【变式练习】【解析】20e0,10121.axyxya设曲线在点处的切线与直线垂直，则0e|2.axxyaaa由，得010212sin()3().62.fxxfxfxfxfxf已知，，，则　　【解析】1cos()cos442lnsin31lnsin31yxyuuxyxyuuvvx函数由函数和复合而成.函数由函数，和复合而成．1cos()42lnsin313.yxyx试说明下列函数是怎样复合而成的？；．【解析】5544421215252121021.xuxuyuuxyyuuxuxx设，，则5214..yx函数的导数为　_________　410(21)x【解析】22sin(2)sin2.33()(sin)(2)32cos22sin(2)cos(23xuxuvxxuvxvxuyuuxuvvxyyuyuvyyuvuvxuvxx令，，再令，所以，所以)234sin(2)cos(2)32xx2sin(25.)3yx函数的导数为　__________________.22sin(4)3xyx【解析】22sin(4)322sin(4)3xxyx，即．1.简单复合函数的导数(1)设函数u=u(x)在x=x0处有导数u′=u′(x)，函数y=f(u)在x0的对应点u处也有导数yu′=f′(u)，则复合函数y=f［u(x)］在x=x0处存在导数，且yx′=yu′·u′=f′［u(x)］·u′(x).(2)求复合函数的导数的两种方法，方法一直接利用复合函数的求导公式，分清复合函数的复合关系，选好中间变量是关键，其步骤是：分解，求导，回代；方法二先将其等价变形，再进行求导．2.在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数．有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导．