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12.3角的平分线的性质教学目标1.掌握角平分线的性质定理及其判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。2.理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。3.会作已知角的角平分线，并能写出已知、求作和作法。重点难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！探究1---想一想：4AＢＯＭＮ作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．Ｃ根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．21做一做：5AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？Ｏ想一想：在△OMC和△ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOB证明：连结MC,NC由作法知:(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究2---做一做：证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线的性质证一证角平分线上的点到角两边的距离相等。利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言）∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）PAOBCED12说一说：91、明确命题的已知和求证证明几何命题的步骤有哪些？总结3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；动脑筋在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有;相等的角有：。⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。EDCBABE=BC,DE=DC∠ABD=∠CBD∠BED=∠AED=∠C6810DC，角平分线的性质BE=8，AE=2,△AED的周长8思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）sＯ公路铁路解：DCsＯ公路铁路2、截取OD=2.5cm,D即为所求。1、作夹角的角平分线OC，角平分线的性质反过来：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上成立吗？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．探究3---猜一猜：证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．试一试：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE例2已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等DEFABCPMN动脑筋利用结论，解决问题练一练1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?1．（1）∵∠1=∠2，DC⊥AC，DE⊥AB∴___________．（_____________________________________）（2）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC=DE∴__________．（_________________________________________________）∠1=∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上．角平分线上的点到角的两边的距离相等．随堂练习ACDEB12192.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE=CM.EDCBA43．直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：()A．一处B．两处C．三处D．四处DADNEBFMC4．已知：BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上．提示：证明△CDF≌△BEF．利用角平分线的判定定理说明结论