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全等三角形的复习八年级数学第十二章全等形全等三角形性质应用全等三角形对应边（高线、中线）相等全等三角形对应角（对应角的平分线）相等全等三角形的面积相等SSSSASASAAASHL解决问题角的平分线的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等到角的两边的距离相等的点在角平分线上结论条件（尺规作图）判定三角形全等必须有一组对应边相等.二、全等三角形识别思路复习如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件-----------------------，使△ABC≌△DCB。思路1：找夹角找第三边找直角已知两边：∠ABC=∠DCB（SAS）AC=DB（SSS）∠A=∠D=90°（HL）ABCD如图，已知∠C=∠D，要识别△ABC≌△ABD，需要添加的一个条件是------------------。思路2：找任一角已知一边一角（边与角相对）（AAS）∠CAB=∠DAB或者∠CBA=∠DBAACBD如图，已知∠1=∠2，要识别△ABC≌△CDA，需要添加的一个条件是-----------------思路3：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找任一角AD=CB∠ACD=∠CAB或∠D=∠B（SAS）（ASA）（AAS）如图，已知∠B=∠E，要识别△ABC≌△AED，需要添加的一个条件是--------------思路4：已知两角：找任一边ACDEAB=AEAC=AD或DE=BC(ASA)(AAS)例1.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点哦，若∠BOC=1200，那么∠A的度数是.ABCDEO600例2、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BH=CH，AH=AH∴△ABH≌△ACH（SSS）；∵BD=CD，BH=CH，DH=DH∴△DBH≌△DCH（SSS）在△ABD和△ACD中∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）；在△DBH和△DCH中解：①∵E、F分别是AB，CD的中点（）又∵AB=CD∴AE=CF在△ADE与△CBF中AE==∴△ADE≌△CBF()∴AE=ABCF=CD（）1212例3.如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.①△ADE≌△CBF②∠A=∠C线段中点的定义CFADABCDSSS△ADE≌△CBF全等三角形对应角相等已知ADBCFECB②∵∴∠A=∠C()=例4.如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD。求证：AF∥DEABCDEF:BECFBEEFCFEFBFCE证明//ABCDBC又ABFDCEABCDBCBFCE在和中∆ABF≌∆DCE(SAS)∴∠AFB=∠DEC∴AF//DE∵AB∥CD，AD∥BC（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4在△ABC与△CDA中∠1＝∠2（已证）AC=AC（公共边)∠3＝∠4（已证）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CDBC=AD（全等三角形对应边相等）证明:连结AC.例5.如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？为什么？AD与BC呢？ABCD2341例6.如图，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：BC=DEABCDE12证明:∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC∴∠BAC=∠DAE在∆ABC和∆ADE中∴∆ABC≌∆ADE(AAS)∴BC=DEBACDAEBDABAD解∵CE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AEC=∠BFD=Rt∠∵AF=BE（已知）即AE+EF=BF+EFAE=BF∵AC=BD∴RtΔACE≌RtΔBDF（HL）∴CE=DF（全等三角形的对应边相等）例7.如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD，AF=BE，则CE=DF。请说明理由。例8.已知：∠ACB=∠ADB=900，AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DPCABDP证明:在Rt∆ABC和Rt∆ABD中ACADABAB∴Rt∆ABC≌Rt∆ABD∴∠CAB=∠DABAPCAPD在和中AC=ADCAP=DAPAP=AP∴∆APC≌∆APD(SAS)∴CP=DP例9.如图CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，求证OB＝OC。证明：∵∠1＝∠2CD⊥AB，BE⊥AC∴OD＝OE(角平分线的性质定理)在△OBD与△OCE中∠BOD＝∠COE(对顶角相等)OD＝OE(已证)∠ODB＝∠OEC(垂直的定义)∴△OBD≌△OCE(ASA)∴OB＝OC例10.如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。证明：∵△ABD，△BCE是等边三角形。∴∠DBA＝△EBC＝60°∵A、B、C共线∴∠DBE＝60°∴∠ABE＝∠DBC在△ABE与△DBC中AB＝DB∠ABE＝∠DBCBE＝BC∴△ABE≌△DBC(SAS)∴∠2＝∠1在△BEF与△BCG中∠EBF＝∠CBGBE＝BC∠2＝∠1∴△BEF≌△BCG(ASA)∴BF＝BG(全等三角形对应边相等)例11.如图AB//CD,∠B=90º,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AE平分∠DABCDBAEF证明:作EF⊥AD,垂足为F∵DE平分∠ADCAB//CD,∴∠C=∠B又∵∠B=90º∴∠C=90º又∵EF⊥AD∴EF=CE又∵E是BC的中点∴EB=EC∴EF=EB∵∠B=90º∴EB⊥AB∴AE平分∠DAB∴BC⊥DC例12.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。∵AB=AC（已知）AD=AD（公共边）∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CD解：BD=CD∵∠ADB=∠ADC=90°做一做1、如图，要识别△ABC≌△ADE，除公共角∠A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。ABCED（1），（）（2），（）（3），（）（4），（）（5），（）（6），（）（7），（）SAS2、如图，D为BC中点，DF⊥AC，且DE=DF，∠B与∠C相等吗？为什么？ADCBFE3、如图，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线，△ABD≌△CBE吗？为什么？BACDE4、如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，△ABC与△ADE全等吗？BACDE考考你，学得怎样？5、如图1，已知AC=BD，∠1=∠2，那么△ABC≌，其判定根据是__________。6、如图2，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件___=___，7、如右图，已知AC=BD，∠A=∠D，请你添一个直接条件，___=，使△AFC≌△DEBABCD12BCADADEBFC8、如图，已知AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（）（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对9、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）（A）一锐角和斜边对应相等（B）两条直角边对应相等（C）斜边和一直角边对应相等（D）两个锐角对应相等10、下列四组中一定是全等三角形的为（）A．三内角分别对应相等的两三角形B、斜边相等的两直角三角形C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形D、三边对应相等的两个三角形BCAED答：证法错误。SAS定理应用错误。11.【99江西】已知，如图，ＢＣ＝ＢＤ，∠Ｃ＝∠Ｄ，求证：ＡＣ＝ＡＤ．有一同学证法如下：证：连结AB在⊿ABC和⊿ABD中BC=BD∠C=∠DAB=AB∴⊿ABC≌⊿ABD(SAS)∴AC=AD你认为这位同学的证法对吗？如果错误，错在哪里，应怎样证明？DACB12.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。ABCDE13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO是角平分线,点D在AC的延长线上,DE过点O且DE⊥AB,垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;ACDOBE解：∵∠ACB=90°∴BC⊥AC∵AO平分∠BAC又DE⊥ABBC⊥AC∴OE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，并说明理由14、如图，∠B=∠C=90度，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DABADCBME15.在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？四、小结：找夹角（SAS）找第三边（SSS）找直角（HL）已知两边找任一角（AAS）已知一边一角（边与角相邻）找夹这个角的另一边（SAS）找夹这条边的另一角（ASA）找边的对角（AAS）已知两角找夹边（ASA）找一角的对边（AAS）1、全等三角形识别思路：3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。（边与角相对）2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。注意：１、“分别对应相等”是关键；２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。