整式运算与几何图形

整式运算与几何图形1.图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形。（本题12分）(1)、比较这两幅图,你能说出它们的相同点与不同点吗?(2)、你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少?(3)、请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积。(4)、观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?(m+n)2,(m-n)2,mn2、已知，如图2，现有a×a、b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线框中拼成一个矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹）使拼出的矩形面积为2a2+5ab+2b2，并标出此矩形的长和宽。（8分）3、如图3（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小正方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形。（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？三个代数式：（m+n）2，（m－n）2，mn。（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a－b）的值。4．小明想把一长是60cm，宽为40cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图）。（1）若设这些小正方形的边长为xcm，求图中阴影部分小长方形的面积。（2）当5x时，求这个盒子的体积。nmmnnnm图2nmmn图1aaabbb图2mmmmmmnnnnnn（1）（2）图35.（本题10分）老师要小华用一张纸片制作成一个如图②的形状的图案，他是这样做的：先画一条线段AC（如图①），再以AC为直径画圆（O是它的圆心），并剪下这个圆，然后在AC上找一点B，再分别以AB、BC为直径画圆，然后用剪子或其它工具挖去这两个圆（即以O1、O2为圆心的圆），再通过适当的剪裁，就可以得到图②。⑴请你按照以上方法用一张纸片制作一个如图②形状的图案（大小不限），将它帖在本题目下方的空白处；⑵如果被你挖去两个圆中，小圆的半径（即AO2）比大圆的半径（即CO1）小1cm，请你比较余下部分的面积（即图①中阴影部分的面积）和被挖去部分的面积（即两个小圆的面积的和）的大小。6.如图2，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下的钢板的面积.7.有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，表中所列四种方案能拼成边长为（a+b）的正方形的是（）⑴⑵⑶A112B111C121D211xxABCOO2O1（图①）（图②）baba⑴⑵⑶⑵⑵aabb图1图2(第1题图)8.如图：矩形花园ABCD中，aAB，bAD，花园中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK。若cRSLM，则花园中可绿化部分的面积为()A.2bacabbcB.acbcaba2C.2cacbcabD.ababcb229.请你观察图，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是10．（8分）如图3，将一个长方形的铁皮剪去一个小长方形的一块．（1）求余下的阴影部分的面积；（2）当6a，2b时，求余下部分的面积是多少？11．（10分）abc，，是三个连续的正整数，以b为边长作一个正方形，分别以ac，为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？大多少？12．（2006年汉川市）如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）。这一过程可以验证（）A、a2+b2-2ab=(a-b)2；B、a2+b2+2ab=(a+b)2；C、2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)；D、a2-b2=(a+b)(a-b)ABCDLQMPRKSTxxx-yx-yyy第2题图图2图1bbaba13、（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得14．探究及应用.(共11分)1、（1）（5分）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：（每题3分）①7.93.10②)2)(2(pnmpnm15、图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形。（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：、；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？；aabbaabb16.（2006年荆门市）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b),再沿虚线剪开,如图(1),然后拼成一个梯形,如图(2),根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是()(A)a2-b2=(a+b)(a-b).(B)(a+b)2=a2+2ab+b2.(C)(a-b)2=a2-2ab+b2.(D)a2-b2=(a-b)2.17．（2006年龙岩市）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了()nab（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：0()1ab，它只有一项，系数为1；1()abab，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；222()2abaabb，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223()33abaababb，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：（1）4()ab展开式共有项，系数分别为；（2）()nab展开式共有项，系数和．．．为．18.（2005年福建福州）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（ab），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算两个图形阴影部分的面积，验证了公式_____.1111111233……第20题图计算：23181920222222______.19.（2003年青海）请先观察下列算式，再填空：181322，283522．（1）22578×；（2）29－（）2＝8×4；（3）（）2－92＝8×5；（4）213－（）2＝8×；……通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：。参考答案：20.（福建三明）你能很快算出21995吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可以写成105n（n为自然数），即求2(105)n的值，试分析1n，2n，3n，……这些简单情形，从中探索规律，（1）通过计算，探索规律.215225可以写成100×1×（1＋1）＋25；225625可以写成100×2×（2＋1）＋25；2452025可以写成100×4×（4＋1）＋25；……2755625，可以写成________，2857225可以写成___________.（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想，得2(105)n=_________.并利用整式运算的知识给予说明.（3）根据上面的归纳猜想，计算出21995=__________.21.(2006河北非课改)小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图－1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图－2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（）Ａ．0.5cmＢ．1cmＣ．1.5cmＤ．2cm22.（2006贵港）观察下列各等式：1111212，1112323，1113434，…根据你发现的规律，计算：2222122334(1)nn…（n为正整数）23．如图７所示的几何图形的面积可以表示的公式是（）Ａ．（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝2a－2b；Ｂ．2ab＝2a－２ａｂ＋2b；Ｃ．2ab＝2a＋２ａｂ＋2b；Ｄ．ａ（ａ－ｂ）＋ｂ（ａ－ｂ）＝2a－2b．24．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《祥解九章算法》中提出右表，此表揭示了nab（ｎ为非负整数）展开式的各项系数的规律．例如：0ab＝１，它只有一项，系数为１；1ab＝ａ＋ｂ，它有两项，系数分别为１，１；2ab＝2a＋２ａｂ＋2b，它有三项，系数分别为１，２，１；3322333abaababb，它有四项，系数分别为１，３，３，１；……根据以上规律，4ab展开式共有五项，系数分别是（）Ａ．１，３，４，３，１；Ｂ．１，４，３，４，１；Ｃ．１，４，５，４，１；Ｄ．１，４，６，４，１．25．（12分）阅读理解题观察下列各式：2111xxx，23111xxxx，第一次折叠图－1左左右右第二次折叠图－21111211331…324111xxxxx，根据前面的规律，回答下列问题：（1）填空：81_____1xx；（2）求值：111011xxxx________；（3）111nnxxxx________；（4）根据上述规律写出23462631222222的结果．26．（2006年安徽省）老师在黑板上写出三个算式：52一32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11252=8×12，152-72=8×22，……(1)请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；(2)用文字写出反映上述算式的规律；(3)证明这个规律的正确性．27．（2006年汉川市）有一串单项式：234,2,3,4,xxxx……，192019,20xx（1）你能说出它们的规律是什么吗？（2）写出第2006个单项式；（3）写出第n个，第（n+1）个单项式．分析：本题是一般性的探索性问题，较简单，只要经过观察、分析、比较、类比、归纳等探索就能找出规律来．28．（2006年南充市））有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示．有规律排列的一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？(2)它的第100个数是多少？(3)2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？29．（2006年河北省）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：……①②③⑤④4×0＋1＝4×1－3；4×1＋1＝4×2－3；4×2＋1＝4×3－3；___________________；___________________；……（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．30.观察下面的几个算式，你发现了什么规律？①16×14=224=1×(1+1)×100+6×4②23×27=621=2×(2+1)×100+3×7③32×38=1216=3×(3+1)×100+2×8……(1)按照上面的规律，仿照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果.(2)用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab证明上面所发现的规律.(提示：可设这两个两位数分别是(10n+a)、(10n+b),其中a+b=10)(3)简单叙述以上所发现的规律.31、比较(本题共6分)比较下面算式结果的大小(在横线上选填“”“”“=”)42+322×4×3(－2)2+122×(－2)×162+722×6×722+222×2×2通过观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明.32．2223233223，2234344334，2245455445，，现在已知5ab，4ab，则abba________．33．给出下列算式：231881；22531682；22752483，22973284，，观察上面一系列的等式，你发现了什么规律，用含有自然数n的代