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第32讲┃轴对称与中心对称第32讲┃考点聚焦考点聚焦考点1轴对称与轴对称图形轴对称轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫对称点如果一个图形沿某一直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做____________，这条直线叫做它的对称轴．这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称区别轴对称是指______全等图形之间的相互位置关系轴对称图形是指具有特殊形状的______图形重合轴对称图形两个一个第32讲┃考点聚焦联系①如果把成轴对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是轴对称图形；②如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称轴对称的性质(1)对称点的连线被对称轴________(2)对应线段________(3)对应线段或延长线的交点在________上(4)成轴对称的两个图形________垂直平分相等对称轴全等第32讲┃考点聚焦考点2中心对称与中心对称图形中心对称中心对称图形定义把一个图形绕着某一点旋转________后，如果它能与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做________把一个图形绕着某一点旋转________，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么我们把这个图形叫中心对称图形，这个点叫做________区别中心对称是指两个图形之间的相互位置关系中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形180°重合对称中心180°对称中心第32讲┃考点聚焦联系①如果把中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是中心对称图形；②如果把一个中心对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成中心对称中心对称的性质(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心________(2)成中心对称的两个图形________平分全等第32讲┃归类示例归类示例►类型之一轴对称图形与中心对称图形的概念命题角度：1.轴对称的定义，轴对称图形的判断；2.中心对称的定义，中心对称图形的判断．[2012·丽水]在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是()图32－1A．①B．②C．③D．④B第32讲┃归类示例[解析]如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．第32讲┃归类示例(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；(2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形．►类型之二图形的折叠与轴对称第32讲┃归类示例命题角度：图形的折叠与轴对称的关系．[2013·北京]如图32－2，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是()A．63B．123C．183D．243图32－2C第32讲┃归类示例[解析]连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE＝DE，∴CD＝2CE.∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴S△CMNS△CAB＝CECD2＝14.∵在△CMN中，∠C＝90°，MC＝6，NC＝23，∴S△CMN＝12CM·CN＝12×6×23＝63，∴S△CAB＝4S△CMN＝4×63＝243.∴S四边形MABN＝S△CAB－S△CMN＝243－63＝183.第32讲┃归类示例图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两个部分全等．►类型之三轴对称与中心对称有关的作图问题第32讲┃归类示例命题角度：1.利用轴对称的性质作图；2.利用中心对称的性质作图；3.利用轴对称或中心对称的性质设计图案．第32讲┃归类示例[2012·广州]如图32－3，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．图32－3第32讲┃归类示例[解析](1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，找出点P′的位置，然后以3为半径画圆即可；再根据直线与圆的位置关系解答；(2)设直线PP′与MN相交于点Q，在Rt△QP′N中，利用勾股定理求出QN的长度，在Rt△QPN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度．第32讲┃归类示例解：(1)作图如下．⊙P′与直线MN相交．(2)连接PP′并延长交MN于点Q，连结PN、P′N，由题意可知：在Rt△P′QN中，P′Q＝2，P′N＝3，由勾股定理可求出QN＝5.在Rt△PQN中，PQ＝3＋5＝8，QN＝5，由勾股定理可求出PN＝82＋（5）2＝69.第32讲┃归类示例此类作图问题的关键是根据轴对称与中心对称坐标特征求出对称点的坐标．第32讲┃回归教材回归教材“线路最短”问题的拓展创新教材母题北师大版八上P95问题解决第13题如图32－4，甲、乙两个单位分别位于一条封闭街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，问：图32－4(1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意，桥必须与街道垂直．(2)桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？第32讲┃回归教材解：(1)如图32－5，将点A沿竖直的方向向下移动，平移距离等于桥宽，到达A1点，连接A1B，与街道靠近B的一侧交于点B1，过B1点建桥即符合要求．图32－5图32－6(2)如图32－6，作B关于街道的对称点B2，连接AB2，作AB2的垂直平分线，与街道靠近A的一侧相交于点A2，过A2点建桥即符合要求．第32讲┃回归教材[点析]最短距离问题是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地，最短距离问题可以利用“两点之间线段最短”，或“垂线段最短”以及“勾股定理”等性质来解决．第32讲┃回归教材中考变式[2012·凉山州]在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图32－7(a)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？图32－7第32讲┃回归教材聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线(图(b))，问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′.②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图32－8，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．图32－8(1)在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法)；(2)请直接写出△PDE周长的最小值：________.第32讲┃回归教材解：(1)作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；(2)∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC的中位线．∵BC＝6，BC边上的高为4，∴DE＝3，DD′＝4，∴D′E＝DE2＋DD′2＝32＋42＝5，∴△PDE周长的最小值为：DE＋D′E＝3＋5＝8，故答案为：8.