第一章复习题(一)一、判断题1、大人全体构成集合。(×)2、小个子全体构成集合。(×)3、所有集合都可用列举法表示。(×)4、所有集合都可用描述法表示。(√)5、对任意集合A,总有A。(√)6、()ABBA。(×)7、()()ABBABBAA。(√)8、若BA,则()ABBA。(√)9、cAA,cAAX,其中X表示全集。(×)10、ABBA。(×)11、()cccABAB,()cccABAB。(×)12、()()()ABCACBC,()()()ABCACBC。(√)13、若AB,BC,则AC。(√)14、若AB,则AB,反之亦然。(√)15、若12AAA,12BBB,且11AB,22AB,则AB。(×)16、若AB,则AB。(√)17、若AB,且AB,则AB。(×)18、可数集的交集必为可数集。(×)19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。(√)20、因整数集Z有理数集Q,所以Q为不可数集。(×)21、()ccAA。(√)第二章复习题一、判断题1、设P,nQR,则(,)0PQPQ。(×)2、设P,nQR,则(,)0PQ。(×)3、设123,,nPPPR,则121323(,)(,)(,)PPPPPP。(×)4、设点P为点集E的内点,则PE。(√)5、设点P为点集E的外点,则PE。(√)6、设点P为点集E的边界点,则PE。(×)7、设点P为点集E的内点,则P为E的聚点,反之P为E的聚点,则P为E的内点。(×)8、设点P为点集E的聚点,则P为E的边界点。(×)9、设点P为点集E的聚点,且不是E的内点,则P为E的边界点。(√)10、设点P为点集E的孤立点,则P为E的边界点。(√)11、设点P为点集E的外点,则P不是E的聚点,也不是E的边界点。(√)12、开集中的每个点都是内点,也是聚点。(√)13、开集中可以含有边界点和孤立点。(×)14、E是开集EE的内部(开核)。(√)15、任意多个开集的并集仍为开集。(√)16、任意多个开集的交集仍为开集。(×)17、有限个开集的交集仍为开集。(√)18、闭集中的每个点都是聚点。(×)19、E和E都是闭集。(√)20、E是闭集EE。(√)21、任意多个闭集的交集仍为闭集。(√)22、任意多个闭集的并集仍为闭集。(×)23、有限个闭集的并集仍为闭集。(√)24、E是开集cE是闭集。(√)25、E是完全集(完备集)EEE是无孤立点的闭集。(√)二、填空题1、设1nRR,1E是[0,1]上的全部有理点,则1E[0,1];1E的内部空集;1E[0,1]。2、设2nRR,1E[0,1],则1E[0,1];1E的内部空集;1E[0,1]。3、设2nRR,1E22{(,)1}xyxy,则1E22{(,)1}xyxy;1E的内部1E;1E22{(,)1}xyxy。4、设P是康托(三分)集,则P为闭集;P为完全集;P没有内点;Pc;mP0。5、设(,)ab为1R上的开集G的构成区间,则(,)ab满足(,)abG,且aG,bG。6、设(1,2)(3,4)E,写出E的所有的构成区间(1,2),(3,4)。7、设(1,3)(2,6)E,写出E的所有的构成区间(1,6)。8、设E为1R上的闭集,0x为E的孤立点,则0x必为E的两个邻接区间的公共端点。9、设E为1R上的闭集,则E的邻接区间必为cE的构成区间。第三章复习题一、判断题1、对任意nER,*mE都存在。(√)2、对任意nER,mE都存在。(×)3、设nER,则*mE可能小于零。(×)4、设AB,则**mAmB。(√)5、设AB,则**mAmB。(×)6、**11()nnnnmSmS。(×)7、**11()nnnnmSmS。(√)8、设E为nR中的可数集,则*0mE。(√)9、设Q为有理数集,则*0mQ。(√)10、设I为nR中的区间,则*mImII。(√)11、设I为nR中的无穷区间,则*mI。(√)12、设E为nR中的有界集,则*mE。(√)13、设E为nR中的无界集,则*mE。(×)14、E是可测集cE是可测集。(√)15、设{nS}是可测集列,则1nnS,1nnS都是可测集。(√)16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。(√)17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。(√)18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。(√)19、若E,则*0mE。(×)20、若E是无限集,且*0mE,则E是可数集。(×)21、若mE,则E必为无界集。(√)22、在nR中必存在测度为零的无界集。(√)23、若A,B都是可测集,AB且mAmB,则()0mBA。(×)24、和nR都是可测集,且0m,nmR。(√)25、设12,EE为可测集,则12()mEE12mEmE。(×)26、设12,EE为可测集,且12EE,则12()mEE12mEmE。(×)二、填空题1、若E是可数集,则*mE0;E为可测集;mE0。2、若12,,,nSSS为可测集,则1niimS小于或等于1niimS;若12,,,nSSS为两两不相交的可测集,则1niimS等于1niimS。3、设12,EE为可测集,则122()mEEmE大于或等于1mE;若还有2mE,则12()mEE大于或等于12mEmE。4、设12,EE为可测集,且12EE,2mE,则12()mEE等于12mEmE。5、设0x为E的内点,则*mE大于0。6、设P为康托三分集,则P为可测集,且mP0。7、m0,nmR+∞。8、叙述可测集与G型集的关系可测集必可表示成一个G型集与零测集的差集。9、叙述可测集与F型集的关系可测集必可表示成一个F型集与零测集的并集。第四章复习题一、判断题1、设()fx是定义在可测集nER上的实函数,如果对任意实数a,都有[()]Exfxa为可测集,则()fx为E上的可测函数。(√)2、设()fx是定义在可测集nER上的实函数,如果对某个实数a,有[()]Exfxa不是可测集,则()fx不是E上的可测函数。(√)3、设()fx是定义在可测集nER上的实函数,则()fx为E上的可测函数等价于对某个实数a,[()]Exfxa为可测集。(×)4、设()fx是定义在可测集nER上的实函数,则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a,[()]Exfxa为可测集。(×)5、设()fx是定义在可测集nER上的实函数,则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a,[()]Exfxa为可测集。(√)6、设()fx是定义在可测集nER上的实函数,则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a和b(ab),[()]Exafxb为可测集。(×)7、设E是零测集,()fx是E上的实函数,则()fx为E上的可测函数。(√)8、若可测集E上的可测函数列{()nfx}在E上几乎处处收敛于可测函数()fx,则{()nfx}在E上“基本上”一致收敛于()fx。(×)9、设()fx为可测集E上几乎处处有限的可测函数,则()fx在E上“基本上”连续。(√)10、设E为可测集,若E上的可测函数列()()nfxfx(xE),则{()nfx}的任何子列都在E上几乎处处收敛于可测函数()fx。(×)11、设E为可测集,若E上的可测函数列()()nfxfx..ae于E,则()()nfxfx(xE)。(×)二、填空题1、[]Efa等于11[]nEfan,[]Efa等于11[]nEfan。2、[]Eafb包含于[]Efa,[]Eafb包含于[]Efb;[]Eafb等于[][]EfaEfb,[]Eafb等于[][]EfaEfb。3、设1nnEE,则[]Efa等于1[]nnEfa。4、设1nnEE,则[]Efa等于1[]nnEfa。5、由于区间I上的单调函数()fx的不连续点所成的集为至多可数集,则()fx为I上的几乎处处连续函数,从而()fx为I上的可测函数。6、叙述可测函数的四则运算性可测函数经过四则运算所得的函数(只要有意义)仍可测。7、叙述可测函数与简单函数的关系简单函数是可测函数;在几乎处处收敛的意义下,任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限。8、叙述可测函数与连续函数的关系连续函数必为可测函数;可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。9、叙述叶果洛夫定理设E是测度有限的可测集,则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。10、叙述鲁津定理设E是可测集,则E上的可测函数“基本上”是连续函数。11、若()()nfxfx,()()nfxgx(xE),则()fx等于()gx几乎处处于E。第五章复习题复习题(一)一、判断题1、设()fx是可测集nER上的非负简单函数,则()dEfxx一定存在。(√)2、设()fx是可测集nER上的非负简单函数,则()fx在E上勒贝格可积。(×)3、设()fx是可测集nER上的非负简单函数,且0()dEfxx,则()fx在E上勒贝格可积。(√)4、设()fx是可测集nER上的非负可测函数,则()dEfxx一定存在。(√)5、设()fx是可测集nER上的非负可测函数,则()fx在E上勒贝格可积。(×)6、设()fx是可测集nER上的非负简单函数,且0()dEfxx,则()fx在E上勒贝格可积。(√)7、设()fx是可测集nER上的可测函数,则()dEfxx一定存在。(×)8、设()fx是可测集nER上的可测函数,且()()fxLE,()()fxLE至少有一个成立,则()dEfxx一定存在。(√)9、设()fx是可测集nER上的可测函数,且()()fxLE,()()fxLE至少有一个成立,则()fx在E上勒贝格可积。(×)10、设()fx是可测集nER上的可测函数,若()()fxLE且()()fxLE,则()fx在E上勒贝格可积。(√)11、设()fx是可测集nER上的可测函数,若()()fxLE,则()dEfxx。(√)12、设()fx是可测集nER上的可测函数,若()()fxgx且()()gxLE,则()()fxLE。(√)13、若E为零测集,()fx为E上的任何实函数,则()()fxLE。(√)14、若()()fxLE,则[]0mEf。(√)15、若()()fxLE,则()()fxLE。(√)16、若()()fxLE,则()()fxLE。(√)17、若()()fxLE,1E为E的可测子集,则1()()fxLE。(√)18、()fx在E上勒贝格积分值存在()()fxLE。(×)19、若()()fxLE,且()0fx,()d0Efxx,则()0fx..ae于E。(√)20、若()fx在[,]ab上R可积,则若()fx在[,]ab上L可积,且[,]()()d()()dbabaLfxxRfxx。(√)21、若()()fxLE,()()gxLE,且()()fxgx..ae于E,则()d()dEEfxxgxx。(√)22、若()()fxLE,()d0Efxx,则()0fx..ae于E。(×)23、若()d()dEEfxxgxx,则()()fxgx..ae于E。(×)24、若()dEfxx与()dEgxx存在,且()()fxgx,则()d()dEEfxxgxx。(√)25、若()dEfxx存在,nE是E的可测子集,且lim0nnmE,则lim()d0nEnfxx。(×)26