有限元与辛数学a

复，…其见天地之心乎中行独复，以从道也---易经，复卦-六四变分法有限元与辛数学钟万勰,高强大连理工大学2010,08,19数学交叉,北京50年前早春，成立中国力学学会。我有幸参加。大家充满希望。钱学森，周培源，钱伟长，郭永怀等前辈，以天下事为己任。探讨中国力学发展。求解方法论方面，钱伟长提出，能否突破森维南求解的凑合法。点出了重要方向。30多年后办到了，见拙著《弹性力学求解新体系》，1995,大连理工大学出版社辛数学方法的道。深入浅出？1993钱令希为拙著《计算结构力学与最优控制》作序时指出：“力学工作者应首先虚心地汲取状态空间法成功的经验，重新认识哈密顿体系理论的深刻意义，以及随之而来的辛数学方法及其对应用力学的应用”道H.Weyl(韦尔)在1939年研究对称性(Hamilton正则方程)而引入Symplectic，华罗庚先生翻译为辛。纯数学对辛数学的理解是从抽象几何角度讲的，数学结构。先定义微分形式(differentialform)的外乘积(exteriorproduct)，然后是嘉当(Cartan)几何！！！抽象，玄！应用力学有不同的理解：《应用力学的辛数学方法》钟万勰，2006(SymplecticSolutionMethodologyinAppliedMechanics)《力、功、能量与辛数学》，2007，2009对称刚度阵—对应于辛矩阵有限元法，对称刚度阵，自动保辛分析结构力学、有限元辛数学有局限性访问目的：提出问题，寻求交叉、合作、融合分析动力学，辛；必须数值求解，离散它只能面对连续时间的系统，但应用力学有限元、控制与信号处理等需要离散系统；它总是考虑同一个时间的位移向量，但应用力学有限元需要考虑不同长度坐标的位移向量；它认为维数是自始至终不变的，但应用力学有限元需要变动的维数。见有限元网格图它认为物性是即时响应的，但时间滞后是常见的物性，例如粘弹性、控制理论等这些局限性表明传统分析力学还需要大力发展。Hilbert:《数学问题》,1900世界数学大会的大会报告“我们面临着这样的问题：数学会不会遭到其他有些学科那样的厄运，被分割成许多孤立的分支，它们的代表人物很难相互理解，它们的关系变得更松懈了？我不相信会有这样的情况。我认为数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系”认识：数学整体性，各部分的交叉，与其他学科的交叉，不可少。数学家思想文库，李文林主编(科学院数学研究院)1，什么是辛？2，结构力学有限元自动保辛3，波动偏微分方程，不同维数位错的转换4，结束语1，什么是辛？力学的另一种理解一根弹簧，虎克定律的静力学问题，就可讲述辛数学入门了，这就是本文要达成的。辛数学的提出(1939)还不很久远，我国数学家冯康指出，动力学微分方程的差分法近似积分应保辛，计算精度好，是重要贡献。微分形式，外乘积，Cartan几何，…??Hilbert:“清楚的、易于理解的问题吸引着人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步”。深入浅出一根弹簧，虎克定律的静力学问题，就可入门辛数学了，中学生也懂。浅辛数学使人有神秘感。本文从最简单最基本的课题着手讲述，强调其物理、力学意义，为的是破除对辛数学的神秘感一根弹簧受力变形分析的启示最简单的力学模型是一根弹簧、虎克定律的受力变形。设弹簧刚度为k，长度方向的坐标为z。弹簧根部端1固定，另一端2在z方向外力作用下发生的位移2w也在z方向。根据弹簧刚度的意义有弹簧内力与位移的关系(本构关系constitutiverelation)fkw(1.1)图1b,本构关系图1a,弹簧拉伸内力f使弹簧伸长，就做功。这些功将转化为能量，成为弹簧的变形能。注意到f是w的函数，内力的做功并非fw，而是图1中三角形的面积，/2fw(1.2)这些功转化为弹簧变形能。弹簧变形能2()/2Ukw(1.3)弹簧变形能2()/2Ukw(1.3)这是最简单的例题了。注意弹簧有两个端部1与2，固定端1的位移10w，而另一端2ww。端2的位移是2w，则弹簧的伸长为21(1.4)弹簧的变形能仍然是(1.3)式。虽然只有一根弹簧，但也是一个弹性体系，一根弹簧组成的弹性体系。本文的讨论限于弹性体系。两端就是其边界。给定两端的位移12,ww，就由(1.4)得到伸长w；从而由本构关系(1.2)得到弹簧力f；进而得到弹簧变形能等。这是从两端位移边界条件而得到的，称位移法。但还有别的方法，替辛数学寻根给定端1的位移1w，内力1f；求解另一端2的位移2w，力2f。也合理。进行：根据平衡条件有12fff，21ff(1.5)然后从本构关系的方程(1.1)得到伸长1/wfk再从伸长公式(1.4)求出2111/(1.6)即从位移与力11,wf，求解了另一端的状态：22,wf。这种给定一端边界条件的提法也很重要。我们讲：从一端的状态11,wf传递到了另一端的状态22,wf。称组合11,wf为在端1的状态。从而成为：211/wwfk21ff从端部1到端部2的状态间的传递。扎根在力学中引入状态向量的概念。将端1的位移1w，力1f组合成状态向量1v(全部是力学概念)111wfv，222wfv(1.7)则有传递关系21vSv，11/01kS(1.8)其中矩阵S是传递矩阵，即乘上传递矩阵S，就将状态向量1v传递到另一端的状态向量2v了。先引入辛矩阵的概念。最简单的反对称矩阵是0110J(1.9)满足矩阵等式(数学结构)TSJSJ(1.10)的矩阵S，就是辛矩阵。读者不妨自己验证，传递矩阵(1.8)S就是辛矩阵，其行列式值为1。验证：011001,,,101/111/TTkkJSJSSJSJ矩阵J有特殊重要的意义。矩阵J本身也是辛矩阵，最简单的辛矩阵。很容易验证2101,,,10TJJIJJJJ(1.11)将(1.10)中的S用J代入，验证为TJJJJ。容易验证，I也是辛矩阵。显然J的行列式为1，表达为det.()1J。这些性质以后经常用到。传递辛矩阵名称：传递辛矩阵解读：传递是力学概念，辛是数学结构；力学结构与数学结构的融合。以上是通过方程的求解。Hilbert批评:“对于严格性要求的这种片面理解，…由于排斥几何学与数学物理，一条多么重要的，关系到数学生命的神经被切断了！”Hilbert第23个问题“变分法的进一步发展”，“已经涉及了尽可能是确定的和特殊的问题，…用一个一般的问题来做结束”力、功、能量在中学已经有了较好的理解，物理概念清楚。选择为辛数学讲述的对象破除神秘，要从实际物理问题出发。首先科普。力学，最基本，入门最方便，辐射面也最广不必用外乘积、Cartan几何的提法，那是文言文。辛数学入门要白话文矩阵代数深入浅出，平易近人变分原理有限元：能量原理也是最根本的原理。一个质点在球形碗内，其平衡位置一定在最低点的碗底，因重力势能最小，这就是最小总势能原理。单元刚度阵是对称矩阵。自然界的平衡有最小总势能原理。弹性体系的势能有变形势能U与外力(重力)势能V两种，EUV势能的概念非常重要。就像重力势能一样，弹性势能只与两端的位移状态有关，而与如何达到当前状态的变形途径，无关。即，途径无关，而只与位移状态有关。基于途径无关条件，可推导出分析力学的Lagrange括号，Poisson括号，正则变换等，分析结构力学进一步看到，弹簧拉伸可用最小总势能原理来求解，也可用传递辛矩阵方法求解。所以，从实际课题的角度来观察辛矩阵，您会感到除了名词辛比较别致外，其实是朴实无华的。状态向量、传递矩阵而已，概念并不神秘。破除神秘感正是本文的目的。多自由度问题图4，互相联系的两列弹簧一般，区段#:(1,)jjj的两端位移向量分别是1,jjww，各为n维向量。虽然是多自由度，但解决问题的思路是一样的。矩阵nn0IJI0(5.2)其中0是nn的零矩阵，而nI是nn的单位矩阵，从而J是22nn的矩阵。其性质(1.11)仍为21,,,det.()1TnJIJJJJJ区段变形能（作用量）是11#()()()#2211111121,222TjjjjjjTjTjTjjjjjjjjUUwwK()()11121111()()12222222,()jjTjjTjTKKKKKKKKK是刚度对称矩阵。对偶力()()111112()()22121()jjjjjjjTjjjfKwKwfKwKw(5.5a,b)引入状态向量jjjnnwvf，111jjjwvf(5.6)传递，是用1jv表示jv。从(5.5b)有11()()()12111121jjjjjjwKKwKf将上式的jw代入(5.5a)，给出11()()()()()()12221211122121()jTjjjjjjjjfKKKKwKKf两者综合表达为1jjjvSv(5.7)()()1112()()212211()()()()()()11121122221211()()()()()()()12122112221211,,()jjjjjjjjjjjjjjjTjjjSSSSSSKKSKKSKSKKKK可验证TjjSJSJ，故jS是辛矩阵。传递辛矩阵。多自由度问题。条件:只要jK确实是对称矩阵。即可验证：S确实是辛矩阵，即TSJSJ，浅！对称矩阵对称矩阵=〉对称矩阵对应辛矩阵×辛矩阵=〉辛矩阵群！故，传递矩阵仍是辛矩阵。辛矩阵有突出性质：辛矩阵的转置阵也为辛矩阵；辛矩阵乘法是普通矩阵的乘法，适用结合律辛矩阵S一定有逆矩阵1S；也是辛矩阵；任意二个辛矩阵的乘积12,SSS仍是辛矩阵，1212211222()TTTTTSJSSSJSSSSJSSSJSJI是其单位元素；仍然成立。故不论传递多少个区段，其行列式总是1。按数学的群论，传递辛矩阵构成离散辛群。离散后就不是李群。Hilbert:《数学问题》,1900世界数学大会的大会报告“数学中每一步真正的进展，都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”认识：数学整体性，各部分的交叉，与其他学科的交叉，不可少。数学家思想文库，李文林主编(科学院数学研究院)J.vonNeumann在《物理科学中的方法》中说：“一个理论可以有两种不同的解释”。“几乎可以肯定的是，科学的‘公众观点’最终只接受这样一种解释：它能以更大的威力，成功地解释更广阔领域的途径。…能以更好的形式推广为更有效的新理论的理论将战胜另一理论”。数学家思想文库，李文林主编(科学院数学研究院)不仅考虑数学结构与数学结构间的关系，还要考虑数学辛结构，与物理、力学等结构之间的关系辛，可用力学，能量讲明白。M.Atiyah：“数学最使我着迷之处，是不同的分支之间有许许多多的相互影响、预想不到的联系，惊人的奇迹”，“把数学看成一个整体是非常重要的。…数学不同分支的相互作用是有趣的。这一学科的丰富性就是来自这个复合性，而不是来自纯粹性及孤立的专门化。”。访问记“使之简单紧凑。让一年级大学生能够理解”数学结构：先定义微分形式的外乘积(exteriorproduct)，然后是嘉当(Cartan)几何！！！辛，玄！力学：单元刚度阵对称，对称矩阵与传递辛矩阵对应。两种不同的解释对比：有限元法已在工程师手中普及结构力学有丰富的变分原理，并不限于最小总势能原理，还有最小总余能原理，以及混合能变分原理等。当区段长度取得特别小时，基于最小总势能原理的数值计算有严重的数值病态，此时可采用混合能变分原理。混合能变分原理用于微分方程求解与精细积分法，是我国提出的