有限元分析方法

第5章有限元分析方法•概述•有限元法中单元特性的导出方法•有限元法的解题步骤•有限元法的前后置处理简介参考书：《有限单元法基本原理和数值方法》清华大学王勖成邵敏5.1概述例：托架的变形分析有限元分析方法•是一种现代设计计算方法，是随着电子计算机技术的发展而发展起来的；•首先应用于飞机结构的静、动态特性分析（连续体力学分析）；•后广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。1.有限元法的概念单元节点：单元交界线相互连接的交点。边界：单元与单元的交界线。有限元概念的由来1）结构离散（单元剖分）2.有限元分析的思路和步骤将工程结构离散为由各种单元组成的计算模型单元：一维、二维、三维节点的设置、单元的性质和数目等视问题的性质、描述变形形态的需要和计算的精度而定。单元划分越细，描述变形情况越精确（越接近实际变形），但计算越大。2）单元特性分析a）选择位移模式•位移法：选择节点位移作为基本未知量；单元的一些物理量(位移、应变、应力等)由节点位移来表示。•力法：选择节点力作为基本未知量；•混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量；位移法易于实现计算自动化，故应用广泛。单元中位移的分布采用位移函数（能逼近真实函数的近似函数）描述；例：|d|=∑aiφiai：待定系数φi：坐标的某种函数通常将位移表示为坐标变量的简单函数。反映真实的位移分布b）分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义，找出单元节点力节点位移间的关系式。需应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移间的方程式，进而导出单元刚度矩阵。c）计算等效节点力有限元分析中，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。实际情况：力是从单元间的公共边界传递到另一个单元中去的。作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都要等效地移到节点上去即用等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。3）单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程：4）引入边界条件，解方程组由此可解得结构的节点未知位移，进而求得轴向力和应力。将u1=v1=v3=v3=0代入方程，可得根据方程组的特点选择合适的求解方法。5.2有限元法中单元特性的导出方法一、直接方法单元特性：刚度矩阵、质量矩阵、热矩阵等。1）直接方法建立刚度矩阵的方法：2）能量变分原理方法3）虚功原理法4）加权残数法直接方法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的一种方法，这种方法仅能用于简单形状的单元。例：梁的抗弯刚度在弹性小位移范围内，梁的节点力和节点位移间的关系可表为梁在外载荷作用下产生弯曲。单元的节点位移列阵单元的节点力列阵单元的有限元方程简写为：单元刚度矩阵把梁看成是一个单元，它具有两个节点：i和j。挠度和剪力向上为正，倾角和弯矩逆时针方向为正方向。K=[kij]4×4kij:单元的j号节点的单位位移对i号节点力的贡献。假定一系列边界条件，结合平衡条件即可求出kij首先假设：vi=1，θzi=vj=θzj=0由功的互等定理有：kij=kji单元刚度矩阵是对称的由梁的变形公式有：vi=Fyil3/(3EI)－Mzil2/(2EI)=1θi=Mzil/EI－Fyil2/(2EI)=0解得：Fyi=12EI/l3=k11Mzi=6EI/l2=k21Fyi=k11vi+k12θzi+k13vj+k14θzjMzi=k21vi+k22θzi+k23vj+k24θzjFyj=－FyiMzj=Fyil－Mzi由力、力矩的平衡条件：解得：Fyj=-12EI/l3=k31Mzj=6EI/l2=k41再假设：θzi=1，vi=vj=θzj=0由梁的变形边界条件又可求得：k12、k22、k32、k42以同样方法还可求得平面弯曲梁单元的刚度矩阵中的其他元素。平面弯曲梁单元的刚度矩阵为：对三角形单元，可假设单元内各点位移为坐标x，y的线性函数：yaxaayxvyaxaayxu654321),(),(写成矩阵形式}]{[00100001}{654321Saaaaaayxyxvud二、虚功原理法1.设定位移函数选择三角形单元内各点的位移函数为：{d(x,y)}=[u(x,y)v(x,y)]T以平面三角形单元为例，说明该方法的步骤。ui=α1+α2xi+α3yi，vi=α4+α5xi+α6yi三个节点上的位移：uj=α1+α2xj+α3yj，vi=α4+α5xj+α6yjuk=α1+α2xk+α3yk，vi=α4+α5xk+α6yk写成矩阵形式：][100000011000000110000001654321cyxyxyxyxyxyxvuvuvuqkkkkjjjjiiiikkjjiiqc1][由上式可解得：通过矩阵求逆可得[c]-1。kkkkjjjjiiiiyxyxyxyxyxyxc100000011000000110000001][于是，{d}=[S]{a}=[S][C]-1{q}=[N]{q}单元内各点的位移用节点位移插值表示。[N]：形状函数已知2.由位移函数求应变,,,xvyuyvxuxyyx}]{[0000002121}{qBvuvuvubcbcbccccbbbAubububvcvcvcvcvcvcubububAvuxyyxxvyuxuxukkjjiikkjjiikjikjikkjjiikkjjiikkjjiikkjjii由弹性力学有：可得3.根据虎克定律，通过应变求应力}]{][[}]{[}{qBDD210001011][2ED4.由虚功原理求单元的刚度矩阵0AAF给单元节点以任意虚位移{}：T}{kkjjiivuvuvu对平面应力问题，有：其中，根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的节点虚位移下，外力(节点力){F}及内力{}所做的虚功之和应等于零，即虚功方程按式(5.6a)和(5.7)可求得单元内各点将产生的虚位移和虚应变为：}]{[}{}]{[qBqNvu则单元节点力所做的虚功或内力所做的虚功dVAxyxyyyxx)(式中，V为单元体积。上式写成矩阵形式为}{]][[][}{}{}{TTTqdVBDBqdVAVVykkxkkyjjxjjyiixiiFFvFuFvFuFvFuA代入虚功方程，有dVBDBKqKFqdVBDBFTV]][[][][}]{[}{}{]][[][}{TdVBDBKqKFqdVBDBFTVT]][[][][}]{[}{}{]][[][}{简写为：),,;,,(21212121)1(4][2kjiskjirbbcccbbcbcbbccbbAEtKsrsrsrsrsrsrsrsrrs其中，dVBDBKqKFqdVBDBFVT]][[][][}]{[}{}{]][[][}{T将[B]和[D]代入上式即得平面应力问题三角形单元的刚度矩阵三、能量变分原理方法能量变分方法弹性体受外力作用产生变形时伴随着产生变形能U和外力能W，所以系统总位能Π可写成1.最小位能原理一种用变分法求能量泛函的极值方法由于{}和{}是位移u，v，w的函数，所以Π是一个函数的函数，即“泛函”。在所有满足几何关系和边界条件的多组可能位移中，只有满足平衡方程式的那组位移u,v,w才能使物体的总位能为最小。该组位移u,v,w的值就是问题的正确解答。其意义为：}{}{)(}{FqdVTVT与虚功原理法的结果一致。于是，求解直梁的问题即为：在给定的边界条件下解上述微分方程式，求出v(x)。对于简单梁问题，这并不困难；但对复杂结构则比较困难，有时甚至是不可能的。于是，就产生了“泛函变分的近似解法”。里兹法就是其中的一种。niiiay1niiiay1里兹法是假设一个线性组合形式的位移函数,它是一个容许函数，其中的ai是待定系数。然后，把该函数代入所求问题的泛函II中去，求其变分II。再从极值条件II=0给出的方程组中解出待定系数ai之值。最后把求得的值代入的函数中去，即得问题的正确解。上述问题是在给定的边界条件下解微分方程。例：342321)(xaxaxaaxv}]{[]1[)(432132aSaaaaxxxxv上式写成矩阵形式:设定梁单元的位移函数为式中i为待定系数。梁单元的自由度为{q}T=[vizivjzj]。采用能量变分原理的有限元法(里兹法)来计算平面直梁问题位移函数于是从方程组中解出待定系数ai之值，代入位移函数v(x)中去，即得问题的正确解。从数学意义上看，设定的位移函数至少应具有分片连续的一阶导数，这样才能使泛函的积分有意义。这是因为泛函含有应变（），它们都是位移的一阶导数。zwyvxu,,3.位移函数niiiy1在有限元法中，一般设定位移函数是多项式的形式用它近似地描述实际的位移变化规律式中i是待定系数对位移函数的要求位移函数之所以设定为多项式，主要是考虑这样会使数学运算容易。多项式可以是水平直线，斜线或二次曲线形式。选择多项式的阶次应考虑几种因素，即完备性、协调性和对称性。多项式项数应等于单元节点的自由度数。•完备性：一般来说，用一个由低阶算起的完全的多项式就能保证完备性。•协调性：要求位移函数在单元内都是x，y的连续函数，而在相邻单元的交界面上，两单元间应有相同的位移。•对称性：多项式位移函数应当与局部坐标系（单元坐标）的方位无关，即具有几何各向同性。也就是位移函数的形式不应在随局部坐标的更换而改变。从物理、几何方面考虑•设定的位移函数在单元内部和边界上处处都应能满足力的平衡条件和变形协调条件，否则单元之间在变形后会重叠或裂开；•位移函数的设定必须至少满足单元的常应变要求；•单元变形除本身的变形外，还有其他相邻单元通过节点传来的刚体位移，这样，位移函数应包含有代表刚体运动的项。yxyxvyxyxu654321),(),(例：对三节点平面三角形单元，位移函数设定为该函数包含有代表刚体移动的常数项，有一阶导数存在，项数也与自由度相等，而且也是对称的。三节点平面三角形单元位移函数也可写为另外，位移函数也可用插值多项式来表示。例：5.3有限元法的解题步骤4、求[C]-1及{}=[C]-1{q}，并代入位移函数得}]{[}{]][[}{1qNqCSd一、单元剖分和插值函数的确定1、根据构件的几何特性、载荷情况及所求的变形点，建立由各种单元所组成的计算模型。2、按单元的性质和精度要求，写出单元内任意点的位移函数u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)或{d}=[S(x,y,z)]{}。3、利用节点处的边界条件，写出以{}表示的节点位移{q}=[u1v1w1u2v2w2……]T并写成{q}=[C]{}的形式。它是用节点位移表示单元体内任意点位移的插值函数式。把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构，得到整体结构的节点与节点位移间的关系KqF若要计算应力，则由{}=[B]{q}和{}=[D]{}=[D][B]{q}=[R]{q}即可求出相应的节点应力。三