有限元法(杆系)2014版

第2章杆系结构有限元法1.有限元法应用的简例（直杆）2.平面桁架系统1.有限元法的简例（直杆）例：自重作用下的等截面直杆分析杆中位移、应变和应力分布①材料力学解答②有限元法解答杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q材料力学解答)()(xLqxN)(xLEAqdxduxEAdxxLqEAdxxNxdu)()()(xxLxEAqEAdxxNxu02)2()()(N(x)xuxL-xq(L-x)有限元法解答•离散化–将直杆划分成n个有限段–两段轴线之间的连接点称为节点–每个有限段称为一个单元–第i个单元的长度为Li，包含第i和第i+1两个节点•用单元节点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：)()(1iiiiixxLuuuxu（1-1）其中iu为第i结点的位移，ix为第i结点的坐标。第i个单元的应变为i，应力为i，内力为iN：iiiiLuudxdu1（1-2）iiiiiLuuEE)(1（1-3）iiiiiLuuEAAN)(1（1-4）•把外载荷集中到节点上把第i单元和第i+1单元重量的一半2)(1iiLLq，集中到第i+1结点上。集中单元重量•建立结点的力平衡方程对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：2)(11iiiiLLqNN（1-5）令1iiiLL，并将（1-5）代入得：221)11(2)1(iiiiiiiLEAquuu（1-6）根据约束条件，01u。对于第n+1个结点，2nnqLNEAqLuunnn221（1-7）建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的接点位移。•3单元情况xEAqLuunnn221221)11(2)1(iiiiiiiLEAquuu节点2：EAqauuu23212节点3：EAqauuu24322节点4：EAqauu2243平衡方程约束条件01uaaaEAqa252EAqa282EAqa292aaa②①③1234有限元方法分析的一般步骤d节点力（内、外力）平衡条件；a离散，建立有限元模型：节点和单元b确定单元位移分布（由结点位移进行插值）c单元特性分析；e引入位移边界条件后求解；例：213（1）（2）F已知直杆长度为l，两杆夹角为45度。两杆的横截面面积为A，材料弹性模量为E。求：图示桁架各杆端位移。2平面桁架系统步骤1：离散和选择单元类型解：将系统离散为2个单元，3个节点（其中1个共用）213（1）（2）2u为单元中x方向位移（v是y方向位移，不产生变形），杆中任一点位移，可假设为(两节点，两参数）：(2-1)bxau待定系数位置坐标步骤2：选择单元位移函数YXijl)(uixiF)(viyiF)(vjyjF)(ujxjF代入节点的位移,步骤2：选择单元位移函数)()(0jiuxulxuxux：和：/)(luubuaiji所以：0/)(vlxuuuuiji(2-2)受轴力作用杆横截面上的应力为：步骤3：单元特性分析（确定应变、应力、轴力）步骤3：单元特性分析EAFx应力与应变的关系是：目标：确定节点位移与节点力的关系)(1ijuuldxdujiuulEAEAF杆端力为：00yjijxjyijixiFuulEAFFuulEAF矩阵形式表示jjiiyjxjyixivuvulEAlEAlEAlEAFFFF000000000000(2-3)步骤3：单元特性分析局部坐标下的节点力列向量局部坐标下的节点位移列向量单元刚度矩阵步骤3：单元特性分析eeeKF式（2-3）还可写成eeeKF（2-4）式（2-3）或（2-4）称为单元刚度方程yx须首先进行坐标转换在杆系结构有限元法中，每个单元都有自己的局部坐标系，但对整个结构而言需建立统一的整体坐标系。把任意的一个单元取出来，放在整体坐标系下，考察一下该单元在两种坐标系下的物理量的转换（变换）关系。符号约定：局部坐标系下的物理量用加上画线来标记。首先定义一下整体坐标系x-y与局部坐标系的夹角符号：yxx-y坐标系沿逆时针转动到与坐标系重合，则x-y坐标系转过的角度为正。步骤4：节点力平衡方程步骤4：构造总体刚度矩阵杆端力的坐标变换cossinsincosyixiyiyixixiFFFFFFcossinsincosyjxjyjyjxjxjFFFFFFyjxjyixiyjxjyixiFFFFFFFFcossin00sincos0000cossin00sincos矩阵形式表示)()()(eeeFTF或（2-5）同理)()()(eeeT（2-6）TxiFFFFFyjxjyiA.局部坐标系下的物理量：TxiFFFFFyjxjyiB.结构坐标系下的物理量：步骤4：构造总体刚度矩阵单元刚度矩阵的坐标变换:在局部坐标系下，单元的刚度方程为：kF由式（2-5）可得：FTFTFT1由式（2-6）可得：TTT1kF带入可得：eTeeTKTF使：TeeTKTK（2-7）eeeKF（2-8）结构坐标系下的单元刚度矩阵结构坐标系下的单元刚度方程步骤4：构造总体刚度矩阵所以：对单元1，α＝0TeeTKTK0000010100000101100001000010000100000101000001011000010000100001)1(lEAlEAK对单元2，α＝45212121212121212121212121212121212)2(lEAK构造结构刚度矩阵（节点力合成）步骤4：构造总体刚度矩阵对于节点1有：)1(11FF节点1的节点力单元(1)中节点1的节点力（杆端力）同理有：对节点2：)2(2)1(22FFF)2(33FF对节点3：任一单元(e)的单元刚度方程为：eeeKFejiejjjiijiiejiKKKKFF或步骤4：构造总体刚度矩阵对单元(1)有：121122211211121KKKKFF对单元(2)有：232233322322232KKKKFF因此，由节点1，2，3节点力合成可得：232332223232332322322222121221112122212212112111111111KKFFFKKKKFFFFKKFFF注意到节点位移的连续性有：32322212111步骤4：构造总体刚度矩阵因此，把全部节点力写成矩阵形式有321)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(113210)(0KKKKKKKKFFF（2-9）KF或：（2-10）所以，总刚为221221221221002212212212210022122122122100221221221221101000000000101][lEAk单元刚度矩阵：)(][ek)()()(][eeekF单元的局部力（节点内力）单元节点位移结构总体刚度矩阵[K]：}]{[}{KF结构的总力（节点内力合成）节点位移总体刚度矩阵[K]步骤4：构造总体刚度矩阵步骤5：节点位移求解步骤5：节点位移求解332211332211221221221221002212212212210022122122122100221221221221101000000000101][.vuvuvulEAFFFFFFkFyxyxyx00002212212212210022122122122100221221221221002212212212211010000000001010223311vulEAFFFFFyxyx步骤5：节点位移求解EAFlvEAFlu)122(22步骤1：结构离散（划分单元、节点）步骤2：确定位移插值函数（根据节点位移数目）步骤3：单元特性分析（应变、应力、节点力）步骤4：构造总体刚度矩阵（坐标变换，结点力合成）步骤5：节点位移求解（需引入边界条件）知识回顾第二章小结第二章小结结构总体刚度矩阵[K]：}]{[}{KF单元刚度矩阵：)(][ek)()()(][eeekF小结思考：以上两式以及各量的物理含义P②E,A,lx2qq作业2：采用两个单元求解图示结构节点位移。60q