有限元第一章-绪论

有限元理论（TheoryoftheFiniteElementMethod）(研究生课程，40h)机械工程学院2011年9月彭勇教授第一章绪论第二章平面问题有限元分析第三章单元类型及其单元刚度矩阵第四章杆系结构有限元方法第五章结构振动的有限元方法有限元理论主要内容第一章绪论Sect1有限元方法的基本概念和特点1.有限元方法的数学描述2.有限元方法的物理描述3.有限元方法的特点4.实例实例1实例2Sect2有限元方法的发展及应用1.发展过程及趋势2.在石油机械设计中的应用3.学习的要求及方法有限元法（TheFiniteElementMethod）是一种数值计算方法，它以计算机为工具，用于解决场问题（包括矢量场和标量场），如应力场、应变场、位移场、温度场、流速场、电磁场、压力场等，本课程中仅涉及固体力学中的有关场问题。有限元法利用离散的概念使场问题由整体连续到分区连续、由整体解析到分区解析，使原问题的微分方程组退化到线性方程组，归结为求解线性方程组，由此而得到场问题的数值解。有限元理论是关于有限元法的相关理论。有限元理论（TheoryofTheFiniteElementMethod）Sect1从变分原理出发，通过分区插值，把二次泛函的极值问题化为一组多元线性代数方程的求解。包含有限元理论的四个内容：基础变分原理研究对象泛函极值目标简化为一组代数方程采用手段分区插值数学描述Sect1将弹性连续体划分为有限个仅在节点上相互连接的小单元体，对每个单元用有限个参数描述其力学特性，并以每个单元的力学特性总和近似整个弹性体的力学特性，建立整体力的平衡关系并求解。包含有限元法的四个实施步骤：单元划分单元分析整体求和方程求解物理描述Sect1其解题步骤不随研究对象的改变而变化，它使结构强度问题科学地统一于同一解题途径，可以模拟组合结构的复杂计算模型和各种几何边界以及不同的边界条件（位移和力），还能处理复杂的载荷等，因此，有限元法具有解题过程统一、适应性强的显著优点，同时上述优点又带来了其另一个优点：易于实现通用的软件编制。目前国内外已有许多功能大体相同的大型通用软件。特点Sect1hbRbR)2sin(Rb)2cos(Rh)2tan(RbRh实例1求圆的面积Sect1)2sin(221)(nRnaAneen)tan(2nRae)2sin(22nRaehbaeRbae)tan(21)(nnRaAneen6nn2实例2受拉伸杆的位移例2.设长度为L的均匀等直杆，截面积为A，弹性模量为E，受均匀拉伸，杆端伸长量为a，如图示，求杆各点的位移。PxSect1实例2受拉伸杆的位移Sect1解：按有限元分析的4个步骤1.划分单元将结构划分成有限个互不重叠的小区间，[xi-1,xi]（i=1,2,…,n）,共获得n+1个节点，n个直杆单元。012n-1ni-1ii+1……iii-1i第i个单元为实例2受拉伸杆的位移Sect12.单元分析将单元变形能写成节点位移的泛函iiixxliiiedxdxduEdxU12)(221iiiEdxdu；实例2受拉伸杆的位移Sect1构造单元内位移插值函数)()(11111iiiiiiiiiixxxuxxxxuxxxxxu代入变形能泛函，得)...21()(2)-(21212111nixxuuEdxxxuuEUiiiixxiiiiieii，，，实例2受拉伸杆的位移Sect13.单元方程的集合与解将单元特性变形能相加即得结构的近似总变形能：),...,2,1()(211211nixxuuEUUniiiiiniie要使此泛函达极小值，应满足：auuuUni；注意：000实例2受拉伸杆的位移Sect1可以推得：)1,...,2,1(01111nixxuuxxuuEiiiiiiii这显然是一个以ui为未知数的n-1阶线性方程组，求解该方程组即可得解。4.收敛性及误差误差和收敛性取决于位移函数的构造和单元的划分，本课程不重点介绍。实例2受拉伸杆的位移Sect15.看看用解析法和有限差分法求解1）用解析法根据弹性力学理论，受拉伸干对应的问题为：下的解在定解条件Lxauxudxud00022实例2受拉伸杆的位移Sect1解为：)0()(LxxLaxu可求得杆上任意一点的拉伸位移。实例2受拉伸杆的位移Sect12）用差分法微分方程为：022dxud边界条件为：Lxauxu00实例2受拉伸杆的位移Sect1)1,...,2,1(0020211niauuhuuuniii；差分方程为：这显然也是一个以ui为未知数的n-1阶线性方程组，求解该方程组即可得解。将分析的对象按几何拓扑划分成有限个单元（或子域）通过构造插值函数形成单元方程，再根据单元方程的物理意义构造总体方程，利用最小势能原理，列出计算格式，并通过计算机求得单元上的位移近似值，这一套方法，称之为结构有限元位移法，简称有限元法。Sect1有限元的定义（用于强度问题时）多种有限元网络示例三维实体的四面体单元划分三维实体的六面体单元划分平面问题的三角形单元划分平面问题的四边形单元划分转向机构支架的强度分析螺旋齿轮成形过程的分析曲轴的有限元模型有限元模型的局部旋转导向工具偏置体模型实体旋转导向工具整体应力分布（连续图谱）Sect1三维实体的四面体单元划分Sect1三维实体的六面体单元划分Sect1平面问题的三角形单元划分Sect1平面问题的四边形单元划分Sect1转向机构支架的强度分析Sect1螺旋齿轮成形过程的分析Sect1曲轴的有限元模型Sect1有限元模型的局部Sect1旋转导向工具偏置体模型实体图整体网格图Sect1旋转导向工具整体应力分布图（连续图谱）Sect140年代美国的Courant（柯朗），理论要点50年代初德国的Argyris（阿加利思），理论基础50年代美国的Clough（克劳夫），正式名称56年我国著名计算数学家冯康介入有限元法60年代后期，加权余量法有限元方程70－80年代，应用完善期大连理工大学计算力学研究所的贡献发展过程及趋势Sect2主要的零部件、关键零部件、整体结构的强度、刚度、稳定性分析如：钻机井架、绞车、大沟、吊环、齿轮泥浆泵曲轴、墙板抽油机齿轮、连杆、支架井下工具、钻杆接头螺纹钻井平台在石油机械设计中的应用Sect2实践性很强的技术基础课预习---听课---复习---作业---上机学习的要求及方法Sect2