(完整版)函数的周期性与对称性.

1函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|3.函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称例题分析：1．设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于()（A）0.5（B）5.0（C）1.5（D）5.12、（山东）已知定义在R上的奇函数)(xf满足(2)()fxfx，则(6)f的值为（）A．－1B．0C．1D．23．设)(xf是定义在R上的奇函数，(1)2,(1)(6),ffxfx求(10).f4．函数)(xf对于任意实数x满足条件1(2)()fxfx，若(1)5f，则[(5)]ff___25．已知)(xf是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线1x对称。（1）求(0)f的值；（2）证明)(xf是周期函数；（3）若()(01)fxxx，求xR时，函数)(xf的解析式，并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．巩固练习：1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝121－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝12x－3.其中所有正确命题的序号是________．3．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈0，12时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f－32的值等于()A．－12B．－13C．－14D．－154．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．5、（1）_____)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（;（2）______)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（（3）若),2()(xafxf设个不同的实数根，则有nxf0)(_________21nxxx.6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．37．设)(xf是定义在),(上以2为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.8.设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.9.已知函数()yfx是定义在R上的周期函数，周期5T，函数()yfx(11)x是奇函数.又知()yfx在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5.（1）证明：(1)(4)0ff；（2）求(),[1,4]yfxx的解析式；（3）求()yfx在[4,9]上的解析式.10.已知)21121()(xxxf，（1）判断)(xf的奇偶性；（2）证明：0)(xf11、定义在]11[，上的函数)(xfy是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。12．（重庆文）已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围。复习题：41．已知数列{}na，其前n项和为nS，点(,)nnS在抛物线23122yxx上；各项都为正数的等比数列{}nb满足13511,1632bbb.（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）记nnnCab,求数列{}nC的前n项和nT．2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且222823ABCbcaS（其中ABCS为△ABC的面积）．（Ⅰ）求2sincos22BCA；（Ⅱ）若2b，△ABC的面积为3，求a．3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1x，2x，3x，等级系数为5的2件日用品记为1y，2y，现从1x，2x，3x，1y，2y这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．4.如图，在三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ACBC，H为PC的中点，2PAAC，1BC.（Ⅰ）求证：AH平面PBC；（Ⅱ）求经过点PABC的球的表面积。5.已知抛物线28(8)xy与y轴交点为M，动点,PQ在抛物线上滑动，且0MPMQ（1）求PQ中点R的轨迹方程W；（2）点,,,ABCD在W上，,AD关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到,ABAC的距离为12,dd，且122||ddAD，证明：ABC为直角三角形6.设函数2ln()xfxx.（1）求()fx的极大值；（2）求证：2*12ln[(1)(2)21]()(21)()ennnnnnnN（3）当方程()0()2afxaRe有唯一解时，方程222()()0axtxtgxtxfxx也有唯一解，求正实数t的值；函数的周期性与对称性X12345频率a0．20．45bcABCPH51、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|3.函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称例题分析：1．设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于()（A）0.5（B）5.0（C）1.5（D）5.12、（山东）已知定义在R上的奇函数)(xf满足(2)()fxfx，则(6)f的值为（）A．－1B．0C．1D．23．设)(xf是定义在R上的奇函数，(1)2,(1)(6),ffxfx求(10).f4．函数)(xf对于任意实数x满足条件1(2)()fxfx，若(1)5f，则[(5)]ff___65．已知)(xf是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线1x对称。（1）求(0)f的值；（2）证明)(xf是周期函数；（3）若()(01)fxxx，求xR时，函数)(xf的解析式，并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．巩固练习：1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)解析：选Cf(x)的图像如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋