[微分方程]鸭子过河

鸭子过河设河边点O的正对岸为点A，河宽OA=h（图1.1），水流速度为a，有一鸭子从点A游向点O，设鸭子（在静水中）的游速为b（ba），且鸭子游动的方向始终朝着点O。①设h=10m，a=1m/s，b=2m/s，用数值法求渡河所需时间、任意时刻鸭子的位置及游动曲线。②建立任意时刻鸭子的位置和鸭子游动的数学模型，并求其解析解。1.模型的假设为了使问题确定和简化，实际上已经作了如下假设：①假设河宽固定，设为h，且两岸为平行直线；②鸭子游速为b及水流速度a均为常数；③鸭子游动的方向始终指向O。2.模型的建立和求解取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸，如图1.1所示。设时刻t鸭子位于点P（x，y），设起点坐标（x，y）=（0，h），终点坐标（0，0），设θ为鸭子速度方向与x轴正向间的夹角，22(cos,sin)(,)bOPbbbbxyOPxy，(,0)aa，vab于是鸭子游动的迹线满足：2222cossindxbxbaadtxydybybdtxyx(0)=0，y(0)=h（1）模型的数值解实际上，从上述方程不能求得x(t)，y(t)的解析式，但在参数确定的情况下，可以通过数值解得到任意时刻鸭子的位置。设x=(x(1)，x(2))T，x(1)=x，x(2)=y，编写如下的函数M文件：%鸭子过河、渡河functiondx=duhe(t,x)%建立名为duhe的函数M文件a=1;b=2;s=sqrt(x(1)^2+x(2)^2);dx=[a-b*x(1)/s;-b*x(2)/s];%以向量形式表示方程组在编写运行程序时，须设定时间t的起点及终点步长，可大致估计静水中的渡河时间，并作试探。（可见，鸭子的渡河时间在6.5~7s之间）ts=0:0.5:7;x0=[0,10];%x、y的初始值[t,x]=ode45(@duhe,ts,x0);%调用ode45计算[t,x]%输出t，x(t)，y(t)plot(t,x),grid%按照数值输出作x(t)，y(t)的图形gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause%利用鼠标确定字符串位置plot(x(:,1),x(:,2)),grid,%作y(t)的图形gtext('x'),gtext('y')得到的数值结果x(t)，y(t)为鸭子的位置列入表1.1。x(t)，y(t)及y(x)的图形见图1.2(a)和1.2(b)。表1.1h=10，a=1，b=2时的数值解tx(t)y(t)tx(t)y(t)0.00000.000010.00004.00001.86632.43360.50000.47419.00044.50001.70621.68341.00000.89298.00395.00001.44361.03811.50001.25037.01435.50001.08600.52572.00001.53966.03706.00000.65070.17592.50001.75355.07916.50000.16600.01113.00001.88434.15017.00000.00000.00003.50001.92423.262801234567012345678910x(t)y(t)00.20.40.60.811.21.41.61.82012345678910xy图1.2(a)和图1.2(b)（2）模型的解析解为了得到更精确的运动轨迹，还必须对模型作进一步分析以得到其解析解。鸭子运动速度为：2222(,)(,)(,)xydxdybxbyvvvadtdtxyxy故有：xyvdxdyv由此得到微分方程：22xyaxyvdxxdyvbyy，x(h)=0求解此齐次微分方程得到鸭子游动的轨迹方程为：112aabbhyyxhh，0≤y≤h（具体求解参见附录（1））采用下列Matlab程序，我们可以画出鸭子运动的轨迹（图1.3）。h=10;a=1;b=2;y=h:-0.5:0;x=h/2*((y./h).^(1-a/b)-(y./h).^(1+a/b));plot(x,y,'bO-')legend('duck')xlabel('X');ylabel('Y');00.20.40.60.811.21.41.61.82012345678910XYduck图1.3鸭子运动的轨迹鸭子游动曲线轨迹的弧长可以用公式'21dsxdy求出，也可以用数值方法求解。3.对解以及问题的进一步讨论①关于解可以作进一步分析：如果b＜a，由上述轨迹方程当y→0，得到x→∞。因此，这中情况下鸭子是不可能到达对岸的，这与鸭子运动的力学分析结果是一致的。symsy;limit(10/2*(((y/10)^(1-2))-((y/10)^(1+2))),y,0,'left')symsy;limit(10/2*(((y/10)^(1-2))-((y/10)^(1+2))),y,0,'right')结果分别为-Inf和Inf。②很自然地，还可以探讨如下问题：如果鸭子上岸的地点不超过和对岸下游一定位置（比如与正对岸距离为l），鸭子的速度大小与方向不变，问鸭子以怎样的游动方向才能以最少的时间到达上岸地点？鸭子能够按要求到达对岸速度应满足什么条件？如果水流速度变化，进一步可研究2003年全国数学建模竞赛D题：强渡长江。4.建模过程总结这是一个微分方程应用题，整个解题过程已经包含了建立数学模型的基本内容，即①根据问题背景和建模问题作出必要的简化假设——鸭子速度和水流速度均为常数；②用字母和符号表示有关变量（如鸭子速度、水流速度、时间及位置坐标等）；③利用相应的物理（或其他）规律——牛顿力学有关规律，列出微分方程；④求解微分方程得到鸭子游动轨迹曲线解析解，此处我们还采用了数值解法得到了任意时刻鸭子的位置（坐标）；⑤解的讨论及推广应用等。参考文献[1]李志林，欧宜贵，数学建模及典型案例分析，北京：化学工业出版社，2006.12[2]同济大学应用数学系，高等数学（本科少学时类型）上册（第二版），北京：高等教育出版社，2001附录：（1）鸭子游动轨迹方程的求解将得到的微分方程22axydxxdybyy化成齐次方程dxxdyy的形式，得21dxaxxdybyy（1-1）令xuy，则x=yu，dxduuydydy，代入上述方程，得21duauyuudyb（1-2）化简并分离变量得21duadybyu（1-3）两端积分，得21ln(1)lnauuyCb（其中C1为常数）（1-4）即12221()aCbuuyCCe其中（1-5）将xuy代入上式，得12221()aCbxxyCCeyy其中（1-6）由x(h)=0将y=h，x=0代入上式，得21abhC，求得2abCh。将2abCh代入式（1-5），得21aabbuhyu（1-7）将上式平方并化简，得21()2aaaabbbbhyuhy（1-8）求得11()22aaaaaabbbbbbyyuhyhyhh（1-9）将xuy代入上式，得11222aaaaaabbbbbbyyyhyyyhyyxhhhhhhh，0≤y≤h（1-10）参考文献图书馆索取号及参考页码[1]O141.4/L.Z.LPage2-4[2]齐次方程Page339-344