二轮复习：超几何分布和二项分布的比较

高考二轮复习随机变量的分布列(1)近些年广东高考（理科数学）的概率统计题目比较喜欢回归到教材的基本内容，基本以频率分布直方图和离散型随机变量分布列的结合体出现.在离散型随机变量中，以考查超几何分布列的计算为首（2010,2011,2012的试题），兼顾二项分布（2009、2010的试题）。这就需要我们对超几何分布和二项分布的定义和计算十分熟悉，对分布列的题型有较多的接触和练习。概率统计考向分析：2009201020112012201318分22分18分18分17分知识方法整合1．离散型随机变量的概念与分布列的性质．设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.2.常见的离散型随机变量的分布(1)二点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布，期望E(X)＝p，方差D(X)＝p·(1－p)．1．离散型随机变量的概念与分布列的性质．设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.(2)超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中A类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含A类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为称上面的分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．P(X＝k)＝X01…mP_________________…________C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnNnNknMNkMCCC(0≤k≤l，l为n和M中较小的一个)．(3)独立重复试验与二项分布：一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为1012kknknPXkCppkn()(),,,,...,此时我们称随机变量X服从二项分布，记作:X01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq于是得到随机变量X的概率分布如下：(q=1－p)XBnp~(,)在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量X；P(X＝k)＝数学期望E(X)=np题型一超几何分布与二项分布的应用某地工商局从某肉制品公司的一批数量较大的火腿肠产品中抽取30件产品，检验发现其中有3件产品的大肠菌群超标．(1)如果在上述抽取的30件产品中任取2件，设随机变量ξ为大肠菌群超标的产品数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)如以该次检查的结果作为该批次每件产品大肠菌群超标的概率，如从该批次产品中任取2件，设随机变量η为大肠菌群超标的产品数量，求P(η＝1)的值及随机变量η的数学期望．【分析】需要认真体会题目的情境，究竟随机变量符合哪种分布．(1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.袋中有3个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求:(1)答案(2)答案某地工商局从某肉制品公司的一批数量较大的火腿肠产品中抽取10件产品，检验发现其中有3件产品的大肠菌群超标．(1)如果在上述抽取的10件产品中任取2件，设随机变量ξ为大肠菌群超标的产品数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)如以该次检查的结果作为该批次每件产品大肠菌群超标的概率，如从该批次产品中任取2件，设随机变量η为大肠菌群超标的产品数量，求P(η＝1)的值及随机变量η的数学期望．变式探究答案答案超几何分布二项分布有类物品有类结果看作的抽样实验个个（流水线）利用计算利用计算当时，超几何分布二项分布实验总体个数随机变量取值的概率转化对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出不放回的抽样有放回独立重复排列组合相互独立事件有限无限产品总数N很大两两1.（2010年广东高考17）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。1．解：（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；22824063(0)130CPYC，11122824056(1)130CCPYC，21224011(1)130CPYC，Y的分布列为Y012P63130561301113017．（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；22824063(0)130CPYC，11122824056(1)130CCPYC，21224011(1)130CPYC，Y的分布列为Y012P63130561301113017．（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；22824063(0)130CPYC，11122824056(1)130CCPYC，21224011(1)130CPYC，Y的分布列为Y012P63130561301113017．（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；22824063(0)130CPYC，11122824056(1)130CCPYC，21224011(1)130CPYC，Y的分布列为Y012P63130561301113017．（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；22824063(0)130CPYC，11122824056(1)130CCPYC，21224011(1)130CPYC，Y的分布列为Y012P63130561301113017．（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；22824063(0)130CPYC，11122824056(1)130CCPYC，21224011(1)130CPYC，Y的分布列为Y012P631305613011130总结（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3，设任取的5件产品中重量超过505克的产品数量X，则X服从二项分布，故所求概率为P(X=2)=C52(0.3)2(0.7)3=0.3087视觉记忆能力视觉偏低中等偏高超常偏低0751中等183b偏高2a01听觉记忆能力超常0211听觉2.(2011•广州二模)某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,图表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.（Ⅰ）试确定a、b的值；（Ⅱ）从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为,求随机变量的分布列.2.解：（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10)a人.则102()405aPA，解得6a，从而40(32)40382ba.的分布列为0123P142477224755212352531235总结（Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C403,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,的可能取值为0、1、2、3.03241634014(0)247CCPC,12241634072(1)247CCPC,212416340552(2)1235CCPC,302416340253(3)1235CCPC3.(2011•山东淄博二模)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为32,服用B有效的概率为21.（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。3.解（Ⅰ）设iA表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2；iB表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2依题意有，1124()2339PA,2224()339PA,0111()224PB,1111()2222PB,所求的概率为0102121414144()()()4949299PPBAPBAPBA（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，且~B(3,49),3345()()(),0,1,2,399kkkPkCk∴的分布列为`0123P1257291002438024364729所以数学期望44393E.4．袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．(1)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；(2)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布．解：法（1）记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件A法（2）记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件A，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为B，则事件A与事件B是对立事件∵P()B＝C13C26＝315＝15，∴P()A＝1－P()B＝45.(2)由题意，ξ所有可能的取值为：2,3,4,5,6.P()ξ＝2＝C22C26＝115，P()ξ＝3＝C12C12C26＝415，P()ξ＝4＝C22＋C12C12C26＝515，P()ξ＝5＝C12C12C26＝415，P()ξ＝6＝C22C26＝115.∵P()B＝C13C26＝315＝15，∴P()A＝1－P()B＝45.(2)由题意，ξ所有可能的取值为：2,3,4,5,6.P()ξ＝2＝C22C26＝115，P()ξ＝3＝C12C12C26＝415，P()ξ＝4＝C22＋C12C12C26＝515，P()ξ＝5＝C12C12C26＝415，P()ξ＝6＝C22C26＝115.∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有C62其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有C32C21C21∴P()A＝C23C12C12C26＝3×2×23×5＝45∵P()B＝C13C26＝315＝15，∴P()A＝1－P()B＝45.(2)由题意，ξ所有可能的取值为：2,3,4,5,6.P()ξ＝2＝C22C26＝115，P()ξ＝3＝C12C12C26＝415，P()ξ＝4＝C22＋C12C12C26＝515，P()ξ＝5＝C12C12C26＝415，P()ξ＝6＝C22C26＝115.故随机变量ξ的概率分布为ξ23456P115415515415115总结(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．5.