高等数学函数的最值及应用

课题3函数的最大值、最小值在工农业生产和科学技术研究中，常常要考虑在一定条件下，怎样才能使效率最高，成本最低，用料最省等问题。这些问题反映在数学上就是函数的最大值和最小值问题。案例[易拉罐的设计]如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半径与高之比约为1：2？一、函数的最值若函数)(xfy在[ba,]上连续，则函数)(xf在[ba,]上一定有最大值和最小值。它们可能在该区间的内部取得，也可能在该区间的端点处取得．在前一种情况下，函数的最大(小)值必然是函数的极大(小)值．因此，在闭区间上的连续函数的最大(小)值只能在区间端点或区间内极值点处取得，而极值点又只能在驻点或导数不存在点处，所以，求最大值和最小值的步骤：(1)求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值。例求函数52)(24xxxf在区间[2,2]上的最大值与最小值。解)1)(1(4)(xxxxf令0)(xf，解得驻点为1,1xx，0x4)1()1(ff，5)0(f，13)2(f，(2)13f所以函数)(xf的最大值是13)2(f，最小值为4)1()1(ff说明(1)若函数)(xf是],[ba上的连续单调增加(减少)函数，则)(af必为)(xf在],[ba上的最小(大)值,)(bf必为)(xf在],[ba上的最大(小)值．(2)若0x是)(xf在一个区间(有限或无限开或闭)内唯一的极值点，则当0x为极大(小)点时，)(0xf必为)(xf在),(ba上的最大(小)值。f(x0)Oax0bxyf(x)yf(x0)Oax0bxyf(x)y二、最值应用举例例铁路上AB段的距离为100km,工厂C距离A处20km,AC垂直于AB(图)。为了运输需要,要在AB线上选定一点D，向工厂修筑一条公路。已知铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？解设AD=x（km），则DB=x100（km），CD=2220x=2400x（km），设铁路上每公里货运的运费为3k,则公路上每公里货运的运费为5k(k为正常数)。设货物从供应站B运到工厂C需要的总运费为y，则DBkCDky35即y=k5·2400x+)100(3xk0≤x≤100kxxky340052令0y,即0340052kxkx，化简得2252x。因x≥0,故15x（km）,由于kykykyxxx26100,380,400100150,所以当15x，即点D选在距A点右方)(15km处运费最省。例[容器的设计]要设计一个容积为500ml的圆柱形容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？解：设其底面半径为r，高为h，其表面积为由，得因为此问题的最小值一定存在，驻点唯一，故此驻点即为最小值点，将31200500r代入2500rh，得DC20kmAB100kmDC20kmAB100km222rrhShrV25002500rh221000rrS所以rrS4100020S令312500r得31200h即例抗弯截面模量的最大值问题例：对于一根截面为矩形的横梁，当截面矩形的高和宽分别为h和b它的抗弯截面模量为.612bhW现在要求在一根截面圆半径为R的圆木上截出一个抗弯截面模量最大的矩形横梁，试确定其高和宽的尺寸．解：根据勾股定理有,4222bRh由此可得目标函数.20),4(6122RbbRbW求导得).34(6122bRdbdw令,0dbdw可得目标函数在定义域内的唯一驻点.332Rb根据问题的实际意义可知，目标函数(即横梁抗弯截面模量)在定义域内的最大值是一定存在的，而且目标函数在定义域内可导，驻点唯一，所以这唯一的驻点就是目标函数在定义域内的最大值点．也就是说，为使抗弯截面模量最大，截面矩形的宽度应取为,332Rb这时截面矩形对应的高度为.362Rh练习1[发动机的效率]一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率P（%）与汽车的速度v(单位：km/h)之间的关系为问发动机的最大效率是多少？（v=80,p=41%）练习2用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起,焊成铁盒.问在四周截去多大的正方形,才能使所做的铁盒容积最大?（截去正方形边长为8厘米）练习3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月x元，租出去的房子有1018050x套每月总收入为)(xR)20(x1018050x12rh300004.0768.0vvp1068)20()(xxxR，101)20(1068)(xxxR570x0)(xR350x（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为1035068)20350()(xR)(10890元实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;练习练习题5.41、（1）（3）2、4三、小结1．闭区间上最值的一般求法2、实际问题求最值的步骤.作业上册p1021（2）（3）；3，4值．或最小为所求的最点，则该点的函数值即若目标函数只有唯一驻)(