高数下册笔记精

安徽建筑工业学院……………………………..高数下册辅导材料------徐松林版…………………………………1第七章微分方程§1微分方程的基本概念一.基本概念:1.微分方程;凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程．2.常微分方程;如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程．3.偏微分方程;如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程．4.微分方程的阶;微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．5.微分方程的解;将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解．6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．7.微分方程的初始条件与特解.8.微分方程的积分曲线:微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线．二．例题分析P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程:例1．曲线在点处(,)xy的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为()yfx,则由题意得:2'yx.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．例2．曲线上点(,)Pxy处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.解：设该曲线的方程为()yfx,且设曲线在点P处的法线记为L，则其斜率为1/'y；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为M(,)XY，进而得法线Ｌ的方程为：()YykXx且1/'ky即()/'YyXxy；则易求得：'QXxyy且/'AYyxy．．．．．．．．①由题意知点Ａ为线段PQ的中点知：2QPAXXX且2QPAYYY．．．．．．．．．．②由上述①，②两式最终可得：2'xyy--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．§2．可分离变量的一阶微分方程（注：它是一类最易求解的微分方程！）一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：(,,')0Fxyy对称形式：(,)(,)0PxydxQxydy二．何为可分离变量的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：(,)(,)0PxydxQxydy，可等价地转化为()()0fxdxgydy的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）第一步：进行自变量x，dx与因变量y，dy的左右分离；第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解．§３．一阶齐次微分方程（注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！）一．一阶齐次微分方程的定义：安徽建筑工业学院……………………………..高数下册辅导材料------徐松林版…………………………………2在某个一阶微分方程(,)dyfxydx中，如果方程右边的函数(,)fxy可写成yx的函数式即(,)()yfxyx，也即原方程形如：()dyydxx，则称此微分方程为一阶齐次微分方程．二．一阶齐次微分方程的基本解法：转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说，第一步，作变量代换令yux，则,dyduyuxuxdxdx，代入原一阶齐次微分方程()dyydxx得：()duuxudx；第二步，进行变量u与x的左右分离得：()dudxuux；第三步，两边求不定积分即可得其解．．．．三．例题分析参见Ｐ271．例１．又如．Ｐ276．１．（4）．求方程332()30xydxxydy的通解．解：原方程可转化为332223dyxyxydxxyyx，作变量代换令yux，则,dyduyuxuxdxdx；则原方程转化为：213()duuxudxu（注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！）紧接着就进行自变量与因变量的左右分离212duxudxu212ududxux．最后两边作不定积分即可．．．§４．一阶线性微分方程一．一阶线性微分方程的定义：称形如：()()dyPxyQxdx的方程为一阶线性微分方程．（注：因为方程的左边对未知函数y及其导数'y来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）（i）.当()0Qx时，则称()0dyPxydx为一阶线性齐次微分方程．（ii）.当()0Qx时，则称()()dyPxyQxdx为一阶线性非齐次微分方程．二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中，将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数()ux来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解，代回原非齐次方程中去确定那个待定函数()ux的表达式．―――整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）２．一阶线性微分方程：()()dyPxyQxdx的通解公式如下：()()[()]pxdxpxdxyeQxedxc―――请牢记！三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！）１．伯努利方程的定义安徽建筑工业学院……………………………..高数下册辅导材料------徐松林版…………………………………3我们称形如：()()ndyPxyQxydx．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂n级伯努利方程＂）．２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）只要令1nzy，则1(1)ndzdynydxdx，将其代入原n级伯努利方程（＊）可得(1)()(1)()dznpxznQxdx-----这是一个一阶线性非齐次方程!进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程（＊）的解!３．变量代换法在求解微分方程中的运用利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法．例１．解方程．Ｐ282．9．（1）．2()dyxydx解：可令uxy，则原方程转化为222111dydududuuudxdxdxdxu两边积分就可得其解．．．．．例２．Ｐ282.9.（3）解方程'(lnln)xyyyxy解：可令lnlnlnuuxyxyxye两边关于自变量Ｘ求导得'uduyxyedx代入原方程得：1uuduuexedx，1dududxuxdxux两边积分就可得其解．．．．．§６．可降阶的高阶微分方程（本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法）一．()()nyfx型微分方程――――这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分n次，就可得其通解．二．''(,')yfxy型微分方程首先此方程''(,')yfxy的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含因变量y＂．此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令dypdx，则22dydpdxdx，进而原方程转化为：(,)dpfxpdx―――这是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去求解．．．．．得其通解设为1(,)pxc又dypdx，也即有1(,)dyxcdx1(,)dyxcdx，最后只要两边再作一次积分，就可得原二阶显微分方程的解．三．''(,')yfyy型微分方程首先方程''(,')yfyy的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含自因变量x＂．此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令dypdx，则22dydpdpdydppdxdxdydxdy，进而原方程转化为(,)dppfypdy――这也是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去安徽建筑工业学院……………………………..高数下册辅导材料------徐松林版…………………………………4求解．．．设得其通解为1(,)pyc又dypdx，也即有1(,)dyycdx1(,)dydxyc，最后只要两边再作一次积分，就可得原二阶显微分方程的解．四．例题分析Ｐ292．1．（5）求解方程：'''yyx解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量y，即''(,')yfxy型．接着可令dypdx，则22dydpdxdx，进而原方程转化为：dpxpdx．―――这是一阶线性非齐次方程dppxdx．由一阶线性非齐次方程的通解公式知：11[][]dxdxxxpexedxcexedxc2xxxece；进而知：2xxdypxecedx2()xxdyecexdx，最后只要两边再作一次积得原方程的通解．．．．．五．微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用所谓＂微分方程的参数方程形式的隐式通解＂就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画．即将微分方程的自变量x与因变量y都表达成某个参数p的函数式的形式．例如：Ｐ292．1．（4）求解方程：2''1'yy．解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量x和y，它同属''(,')yfxy与''(,')yfyy型；所以解法相对由自．以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！先设dypdx，则22dydpdxdx．进而原方程转化为：21dppdx2211dpdpdxdxpp．1arctanxpc―――这就求得了自变量x关于参数p的函数式；以下再来求出因变量y关于参数p的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解．由21dypdppdypdxdxp，所以221ln(1)2ypc；从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：122arctan1ln(1)2xpcypc．注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解Ｐ292．１．（8）；（9）；（10）．§７．高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！）一．二阶线性微分方程的定义：称形如：''()'()()yPxyQxyfx．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．（注：方程的左边对未知函数y及其导数',''yy这三者来说，是一次线性组合形式！）（i）.当()0fx时，则称''()'()0yPxyQxy为二阶线性齐次微分方程．安徽建筑工业学院……………………………..高数下册辅导材料------徐松林版…………………………………5（ii）.当()0fx时，则称''()'()()yPxyQxyfx为二阶线性非齐次微分方程．二．二阶线性微分方程的解的结构１．二阶线性齐次微分方程＂解的叠加原理＂定理１：设1()yx与2()yx都是二阶线性齐次微分方程''()'()0yPxyQxy的解，则此两解的任意线性组合1122()()ycyxcyx也是此二阶线性齐次微分方程的解．―――定理１揭示了齐次方程的解所满足的一种性质．此性质常称为齐次方程＂解的叠加原理＂．２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296从略）特别地，两个函数1()yx与2()yx在区间Ｉ上线性相关12()()yxyx常数，xＩ．３．二阶线性齐次微分方程的通解的结构定理２：设1()yx与2()yx是二阶线性齐次微分方程''()'()0yPxyQxy的解，且1()yx与2()yx线性无关，则此两解的任意线性组合1122()()ycyxcyx就是原二阶线性齐次微分方程的通解．―――定理２揭示了如何用齐次方程的两个线性无关