组合数学-第五节：多项式定理

2.4.4多项式定理当n为整数时，二项式定理给出了()nxy的展开式，本节我们将其推广到求任意t个实数的和的n次方12ntxxx的展开式。在给出下面的多项式定理之前，我们先来看一个例子，将3123xxx的各项展开并整理，可以得到33332222221231231213121323231233333336xxxxxxxxxxxxxxxxxxx（2.4.12）在（2.4.12）式右端的和式中，每项都是312123nnnxxx的形式，这里，123,,nnn都是非负整数，且1233nnn。其中312123nnnxxx的系数为：1233!!!!nnn。定理2.4.3：设n为正整数，则：12121212tnnnntttnxxxxxxnnn其中：1212!!!!ttnnnnnnnn称为多项式系数；而其中的求和号是对所有满足12tnnnn的非负整数序列12tnnn求和。证明先将12ntxxx写成n个12txxx因子的乘积：121212ntttnxxxxxxxxx现在我们将其展开，直到没有括号为止。因为每个因子中我们都可取12,,nxxx中的任一个，所以展开式共有nt项，且每项都可以写成1212tnnntxxx的形式。要得到这一项，我们应该在n个因子中的1n个里面取1x，有1nn种取法；在剩下的1nn个因子中的2n个里面取2x，有12nnn种取法；……；最后，在121()ttnnnnn个因子里面取ix，有121()ttnnnnn种取法。由乘法原则知，1212tnnntxxx前的系数为：11211212()!!!!tttnnnnnnnnnnnnnn例1展开712345xxxxx，则231345xxxx的系数为：7!4202!0!1!3!1!例2展开6123(235)xxx，则32123xxx的系数为：326!2(3)5360003!1!2!下面就多项式系数所满足的性质作一些说明：（1）在多项式定理中，其右端的求和号中所包含的项数就是方程：12tnnnn的非负整数解的数目，即为1ntn项。例如，多项式3123xxx的展开式（2.4.12）中恰有331103项。（2）在多项式：1212ttnxxxxxx的第一个因子中选1ix，第二个因子中选2ix，……，第n个因子中选nix，则多项式的展开项12,niiixxx对应着多重集合12,,tAxxx的一个n排列，并且这个对应显然是一一的，所以多项式的展开式中各项系数之和恰为A的n排列数。在多项式定理中，令121txxx，则有：12120(1)tinnnnntnitntnnn它反映的正是t个不同的元素的多重集合12,,txxx的n排列数为nt。