数学高二（下）沪教版（直线的倾斜角和斜率（一））教师版-20180420122650

中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院精锐教育学科教师辅导讲义年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题直线的倾斜角和斜率（一）教学目的1、了解直线的倾斜角和斜率的概念；2、掌握直线的倾斜角、斜率与直线的方向向量三者之间的关系；3、掌握之嫌的点斜式方程和一般方程，掌握同一条直线的不同形式的方程之间的联系和转化教学内容【知识梳理】1、倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为,0.斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。2、求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=1212xxyy.③方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=mn.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.斜率的图象如下图.kO2对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank，k＜0时，α=π+arctank.3、直线方程的几种形式：（补充）名称方程适用范围斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线点斜式y-y0=k(x-x0)不含直线x=x0两点式121121xxxxyyyy不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)一般式)0(022BACByAx平面直角坐标系内的直线都适用中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院【课前热身】1、已知直线l上两点A、B，求直线l的倾斜角和斜率k.(1)A(1,3)B(5,-1);(2)A(1,2)B(1,-1);(3)A(0,5)B(-1,5)答案：（1）倾斜角34，斜率k=-1(2)倾斜角2，斜率不存在（3）倾斜角0，斜率k=02、求下列直线的倾斜角和斜率25(1);(2)2(7)6;(3)10;(4)3.34xyxyxy答案：（1）倾斜角4arctan3，斜率k=43（2）倾斜角4arctan3，斜率k=43（3）倾斜角2，斜率不存在（4）倾斜角0，斜率k=03、填空题（1）若直线l的倾斜角满足344，则直线l的斜率的范围是（2）若直线l的斜率为43，而直线m的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，则直线m的斜率是（3）若直线l的倾斜角的正弦是32则直线l的斜率是（4）若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，则该直线的倾斜角为答案：（1）(,1][1,)）（2）247（3）33或（4）344或【典型例题分析】例1、（1）过点（-3,2），求直线l1,使其倾斜角为x-y+5=0的两倍。（2）过点（-3,2），求直线l2,使其倾斜角为x-y+5=0的两倍。答案：（1）x=-3(2)42(3)3yx变式练习：1、已知直线:25100lxy，求直线l的点法向式方程和点方向式方程。【分析】首先在l上确定一个点，通常取与坐标轴的交点，令0x，得2y，即0,2是直线l上的一点坐标。由l的方程，可知2,5n，5,2d所以直线l的点法向式方程为2520xy直线l的点法向式方程为252xy中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院【答案】2520xy；252xy2、（1）求过点A2,5，且平行于直线1:4390lxy的直线方程。（2）求过点3,4B，且垂直与直线2:3760lxy的直线方程。【分析】本题解题的关键是利用直线的法向量和方向向量的关系互相转化【解】（1）4,3n是1:4390lxy的一个法向量，也是所求直线的法向量，由点法式方程所知，所求直线方程为：42350xy，整理得43230xy（2）223,7:3760nlxy是的一个法向量，也是所求直线的方向向量，由点方向式方程知，所求直线方程是3437xy，整理得：73330xy3、已知点1,1P，直线l的方程为2210xy（1）求过点P，倾斜角为l的倾斜角的一半的直线方程；（2）求过点P，倾斜比为l的倾斜角大45°的直线方程【解】（1）设直线l的倾斜角为，则2tan220216cos3tan1所以所求直线的斜率为1costan3221cosk所以所求直线方程为1321yx即323210xy（2）设直线l的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为45°，那么所求直线的斜率为tan45322k所以所求直线方程为13221yx，即3222240xy例2、已知直线12:312510;:123laxaylax340ay（1）若12ll与的方向向量平行，求a的值；（2）若12ll，求a的值。中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院【分析】本题中的两个问题都与直线方程向量有关，因此首先确定直线的方向向量125,3daa，23,12daa【答案】（1）4865（2）2变式练习：（1）直线l经过点1,,,1AmBm，求直线l的一个方向向量d，斜率k和倾斜角；（2）若三点,2,4,2,5,1AmBmC在同一直线上，求m的值。【答案】（1）11.1,1,11mdmmkmmm不存在，1arctan,111,121arctan,111mmmmmmmm或（2）解法一：4,22,9,12ABmmBCm，由于AB与BC平行，故422729122mmmm或解法二：由于三点,2,4,2,5,1AmBmC在同一直线上，故ABBCkk从而2212724542mmmm或例3、如图所示，过点2,1P作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于,AB两点，求AOB面积的最小值以及直线l的方程。【答案】解法一：设直线l的方程为12ykx令210,kyxk则令0,12xyk则21,0,0,122kABk，又两点在正半轴BAPxy0中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院所以21002120kkk1114422AOBSOAOBkk由10,40kk有114244kkkk当且仅当114,2kkk时，AOBS有最小值为4，此时l的方程240xy解法二：设直线l的方程为：10,0xyabab2112,12Plab在上，21211242ababab当且仅当2a112b时，即4,2ab时，AOBS有最小值为4，此时l的方程240xy解法三：由解法一可知121122kSkk，整理得，242210kSk2421604kRSS当且仅当142S时，k，以下同解法一解法四：由解法二得22ba所以211422422222AOBaSabaaa当且仅当224,4aa，以下同解法二解法五：由解法四得21222AOBaSaba，整理得，2240aaSS241604SSS当4S时，以下同解法二解法六：如图，过P分别做x轴、y轴的垂线,PMPN,并设,PAM中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院021121cot22tan22112cottan22cottan422ABPAMBPNSSS当且仅当11cottan,tan22即，S有最小值4，此时l的斜率12k例4、直线方程0AxByC的系数,,ABC满足什么关系时，这条直线有如下性质？（1）与两坐标轴都相交（2）只有x轴相交（3）只与y轴相交（4）是x轴所在的直线（5）是y轴所在的直线（6）过原点且不是坐标轴【答案】（1）当,AB都不为零，即0AB，直线与两坐标轴都相交（2）当0,0AB时，直线的方程可以写成CxA,它只与x轴相交（3）当0,0AB时，直线的方程可以写成CyB,它只与y轴相交（4）当0,0ACB时，直线的方程可以写成0y,它是一条与x轴重合的直线（5）当0,0BCA时，直线的方程可以写成0x,它是一条与y轴重合的直线（6）当0,0ABC时，直线的方程可以写成AyxB,它是一条经过坐标原点，且不与坐标轴重合的直线。例5、已知实数,xy满足28yx，当23x，求yx的最大值和最小值。【分析】yx可看作点,xy到原点的斜率，而,xy在线段上，两端点与原点的斜率即为所求【答案】最大值为2，最小值为23【正解】本题中过定点A的直线AR需经过线段PQ上的动点R，当R为PQ与x轴的交点2R时，此时所对应的直线2AR的倾角为0，其值最小。当动点R自2R向Q移动时，直线AR的倾角有0逐渐增大，当点R与Q重合时，直线的倾角增大为1arctan6，当点R与P重合时，直线的倾角为4故当动点R自P向2R移动时，直线的倾角由4逐渐接近于。由此可得直线的倾斜角的取值范围，进一步可求得斜率的取值范围。直线的倾斜角10,arctan,64BAPxy0NM中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院当10,arctan6时，1tan0,6k当,42时，tan1,k当2时，k不存在当,2时，tan,0k由此可得直线的斜率的取值范围为10,1,6【课堂小练】1、经过点（-√2，2）倾斜角是030的直线的方程是（）A、y＋√2=√3/3（x－2）B、y+2=√3（x－√2）C、y－2=√3/3（x＋√2）D、y－2=√3（x＋√2）2、已知直线方程y－3=√3（x－4），则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是（）A、（4，3）；π/3B、（－3，－4）；π/6C、（4，3）；π/6D、（－4，－3）；π/33、直线方程可表示成点斜式方程的条件是（）A、直线的斜率存在B、直线的斜率不存在C、直线不过原点D、不同于上述答案4、若A（x1，y1）和B（x2，y2）是直线y=mx+b上两点，则︱AB︱是（）A、︱x1－x2︱mB、︱x1－x2︱（1+m）C、︱x1－x2︱√1+m2D、︱x1－x2︱（1+m2）5、给出四个命题：(1)设直线1l，2l的倾斜角分别是α1,α2,1l到2l的角为θ，那么：若α2＞α1，则θ=α2－α1；若α1＞α2，则θ=α1－α2；(2)若l1到l2的角为θ，则l2到l1的角为；(3)若1l无斜率，2l的倾斜角为θ(θ≠900)，则1l到2l的角为2；(4)1l和2l的夹角一定是锐角。中小学个性化教育专家精锐教育网站：精锐教育·考试研究院其中错误的命题的个数是（）A、4