奇点与留数习题课

奇点与留数一、重点与难点二、内容提要三、典型例题一、重点与难点重点：难点：留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用二、内容提要留数计算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与极点的关系对数留数留数定理留数在定积分上的应用Cdzzf)(计算dxexRdxxfdRaix)(.3;)(.2;)cos,(sin.120辐角原理儒歇定理1）定义如果函数)(zf0z在不解析,但)(zf在0z的某一去心邻域00zz内处处解析,则称0z)(zf为的孤立奇点.1.孤立奇点的概念与分类孤立奇点奇点2）孤立奇点的分类依据)(zf在其孤立奇点0z的去心邻域00zz内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点;ii)极点;iii)本性奇点.定义如果洛朗级数中不含的负幂项,那末0zz0z)(zf孤立奇点称为的可去奇点.i)可去奇点ii)极点01012020)()()()(czzczzczzczfmm0,1mcm)(01zzc,)()(1)(0zgzzzfm0zz定义如果洛朗级数中只有有限多个的10)(zz,)(0mzz负幂项,其中关于的最高幂为即级极点.0z)(zfm那末孤立奇点称为函数的或写成极点的判定方法0z在点的某去心邻域内mzzzgzf)()()(0其中在的邻域内解析,且)(zg0z.0)(0zg)(zf的负幂项为有0zz的洛朗展开式中含有限项.(a)由定义判别(b)由定义的等价形式判别(c)利用极限)(lim0zfzz判断.如果洛朗级数中含有无穷多个0zz那末孤立奇点0z称为)(zf的本性奇点.的负幂项,注意:在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不为.iii)本性奇点i)零点的定义不恒等于零的解析函数)(zf如果能表示成),()()(0zzzzfm)(z0z其中在,0)(0z解析且m为某一正整数,那末0z称为)(zf的m级零点.3)函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系如果0z是)(zf的m级极点,那末0z就是)(1zf的m级零点.反过来也成立.10综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点)(lim0zfzz存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项10)(zzmzz)(0关于的最高幂为112.函数在无穷远点的性态1).定义如果函数)(zf在无穷远点z的去心邻域zR内解析,则称点为)(zf的孤立奇点.Rxyo12令变换:1zt规定此变换将:tfzf1)(则映射为z,0t扩充z平面扩充t平面映射为)(}{nnzz)0(1nnntzt映射为zRRt10映射为),(t13结论:在去心邻域zR内对函数)(zf的研究在去心邻域Rt10内对函数)(t的研究Rt10因为)(t在去心邻域内是解析的,所以0t是)(t的孤立奇点.规定:m级奇点或本性奇点.)(t的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果t=0是z是)(zf的可去奇点、那末就称点14(1)不含正幂项;(2)含有有限多的正幂项且mz为最高正幂;(3)含有无穷多的正幂项;那末z是)(zf的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.判别法1(利用洛朗级数的特点)2).判别方法:)(zfzR在内的洛朗级数中:如果15判别法2:(利用极限特点)如果极限)(limzfn1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末z是)(zf的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.3.留数记作].),(Res[0zzf域内的洛朗级数中负.))(101的系数幂项zzc为中心的圆环在即0)((zzf定义如果)(0zfz为函数的一个孤立奇点,则沿Rzzz000的某个去心邻域在内包含0z的任意一条简单闭曲线C的积分Czzfd)(的值除i2后所得的数称为.)(0的留数在zzf以1)留数定理设函数)(zf在区域D内除有限个孤nzzz,,,21外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末nkkCzzfizzf1]),(Res[π2d)(立奇点留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.(1)如果0z为)(zf的可去奇点,则.0]),(Res[0zzf)()(lim]),(Res[0000zzfzzzzfzz如果为的一级极点,那末0z)(zfa)(2)如果0z为的本性奇点,则需将成洛朗级数求1c)(zf)(zf展开(3)如果0z为的极点,则有如下计算规则)(zf2)留数的计算方法c)设,)()()(zQzPzf)(zP及)(zQ在0z如果,0)(,0)(,0)(000zQzQzP那末0z为一级极点,且有都解析，.)()(]),(Res[000zQzPzzf如果为的级极点,那末0z)(zfm)]()[(ddlim)!1(1]),(Res[01100zfzzzmzzfmmmzzb).]),(Res[1Czf也可定义为Czzfid)(π21记作Czzfizfd)(π21]),(Res[1.定义设函数)(zf在圆环域z0内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分值为)(zf在的留数.的值与C无关,则称此定Czzfid)(π213)无穷远点的留数0,11Res]),(Res[2zzfzf如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点(包括点)的留数的总和必等于零.)(zf定理4.留数在定积分计算上的应用，令iez)(21siniieei,212izz)(21cosiieezz212π20d)sin,(cosRI1）三角函数有理式的积分当历经变程2,0时,z沿单位圆周1z的正方向绕行一周.izzizzzzRIzd21,21122zzfzd)(1.]),(Res[π21nkkzzfi.)(1),,2,1(的孤立奇点内的为包含在单位圆周其中zfznkzk则为偶函数如果,)(xRnkkzzRixxR10].),(Res[πd)(则次多项式为次多项式为设,2,)(,)(,)()()(nmmzQnzPzQzPzRnkkzzRiI1].),(Res[π2.)(),,2,1(在上半平面内的极点为其中zRnkzk.)(,,)(.d)(没有孤立奇点在实轴上且数高两次的次数至少比分子的次分母的有理函数是其中zRxxRxxRI2）无穷积分则在实轴上没有孤立奇点且的次数高一次分母的次数至少比分子函数的有理是其中,)(,,)(),0(d)(zRxxRaxexRIaixnkkaixaixzezRixexR1],,)(Res[π2d)(.)(),,2,1(在上半平面内的极点为其中zRnkzk3）混合型无穷积分,2πd1cos02mexxmx,0d1sin2xxmx).10(πsinπd1,2πdsin0aaxeexxxxax特别地5.对数留数定义具有下列形式的积分:Czzfzfid)()(π21.)(的对数留数关于曲线称为Czf,)(上解析且不为零在简单闭曲线如果Czf,以外也处处解析的内部除去有限个极点在C那么.d)()(π21PNzzfzfiC内零点的总个数,P为f(z)在C内极点的总个数.其中,N为f(z)在C且C取正向.如果f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么f(z)在C内零点的个数等于21乘以当z沿C的正向绕行一周f(z)的辐角的改变量.辐角原理儒歇定理,)()(内解析上和在简单闭曲线与设CCzgzf与内那么在上满足条件且在)(,)()(zfCzgzfC.)()(的零点的个数相同zgzf三、典型例题.,)(判别类型并在扩充复平面上的奇点求下列函数zf例11tan3sin11(1);(2);(3)e1zzzzezz.解:0)()1(内的洛朗展式为在由于zzfzzzzzzzzzzf!7!5!31sin)(75333!9!7!5!31642zzz.)(,)(0的本性奇点是的可去奇点是得zfzzfz;)2(1tanze解,1tanzw令,01cosz由,1tan的一级极点为zw又且为本性奇点仅有唯一的奇点而,zewzkzz1tanlim),1,0(π211kkzk得.)(wezf则),1,0(π211kkzk所以.)(的本性奇点都是zf因为时当,zzzzezf1tanlim)(lim.)(的可去奇点是故知zfz,13211(3);e1zz解11()e1zfzz有奇点0,2πi(1,2,3,),kk，000e1(e1)1lim()limlim(e1)((e1))zzzzzzzzzfzzz.0001e(1e)e1limlimlime1e(e1e)2ee2zzzzzzzzzzzzzzz因此，0是()fz的可去奇点.2πi2πi2πi2πi2.lim(2πi)()lim()e1zzkzkzkzkzkfzz332πi2πi2πi1limlim1.e1ezzzkzkzk2πi(1,2,3,)kk故是()fz的一阶极点.故不是()fz的孤立奇点.lim2πi,kk3.由于2πi(1,2,3,)kzkk当时，(e-1)=e0e-1zzzkz，故为的1级零点，(e1)+1-ezzzz也为的1级零点，但不是的零点，2πi(1,2,3,)kk故是()fz的一阶极点.例2求函数的奇点，并确定类型.322)1()1(sin)5()(zzzzzzf解110z,z,z是奇点.zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因为),(1zgz是单极点；所以0z1z是二级极点;1z是三级极点.35例3证明是的六级极点.0z)1(1)(33zezzf.)1(1)(033的六级极点是所以zezzfz的六级零点，是因为)1()(1033zezzfz证)1()(133zezzf!3!21296zzz,1!2)(12333zzz36例4求函数的奇点，并确定类型.322)1()1(sin)5()(zzzzzzf解110z,z,z是奇点.zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因为),(1zgz是单极点；所以0z1z是二级极点;1z是三级极点.51255]),(Res[π2d)1)(3(1kkzzzfizzz解例5计算.d)1)(3(1255zzzz]),(Res[]3),(Res[]),(Res[51zfzfzzfkk)1)(3(1)3(lim]3),(Res[53zzzzfz,242151Re,(3)(1)szz45Re,00,131zszz51255]),(Res[π2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212i.121i2511Re,01131szzz例6计算.)0(sindπ02axax解π0π0222cos1dsindxaxxax