高中数学三角函数高考考点分析

中学生数理化·教与学科学思想方法2015.0591　　　高中数学三角函数高考考点分析□安徽太和第一中学　　王雪萍　　三角函数是基本初等函数之一,是高考重点考查的内容.纵观近年全国各地高考题,三角函数解答题主要涉及三角函数概念、三角函数基本不等式及恒等变换、三角函数的图象和性质、利用三角函数解三角形问题以及与平面向量综合知识的应用等,并体现出如下特点:(1)注重诱导公式和三角恒等式的应用;(2)注重图象和性质的应用;(3)注重解三角形及平面向量综合知识的应用;(4)注重三角函数实际应用题.　　一、三角函数的化简与求值问题三角函数化简题应掌握如下三种类型的化简:(1)根式形式的三角函数式的化简,解题过程中应注意角的取值范围.(2)多项式形式的三角函数式化简,应注意诱导公式的应用.(3)分式形式的三角函数式的化简,应注意分子和分母公因式的分解.三角函数求值题,主要有三种类型:给角求值、给值求值和给值求角.主要利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角函数值来求解.对于给值求值,重要的是建立已知式和欲求式间的联系.对于给值求角,要重视两个思维过程,一是根据已知条件求出角的某一个三角函数值;二是根据条件或三角函数值讨论解的范围,从而确定角的大小.例1　已知α为第三象限的角,cos2α=-35,求tan(π4+2α)的值.分析:由已知cos2α的值,欲求tan(π4+2α)的值,要灵活运用三角公式,tan(π4+α)可由正切两角和公式展开,根据角所在象限,只要求出tan2α的值即可.解:由cos2α=2cos2α-1,且α为第三象限角,得cosα=-55,则sinα=-255.所以tanα=2,tan2α=-43.tan(π4+2α)=1+tan2α1-tan2α=-17.　　二、三角函数最值问题三角函数最值问题,属于三角函数性质的范畴,能综合考查三角知识的掌握情况.从近年全国各地高考命题来看,三角函数最值问题大致可化为两种类型.一可化为y=Asin(ωx+φ)的形式.二可化为关于sinx或cosx的二项式,借助二次函数求闭区间上的最值.例2　已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).求函数的最小正周期及在区间[0,π2]上的最大值和最小值.分析:解决本题关键,是利用倍角公式及其变形式升降幂公式,化成y=Asin(ωx+φ)的形式,进而研究其周期,求其最值.在求值过程中,注意角的变换.解:由f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1,得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6).所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)=2sin(2x+π6)在区间[0,π6],上为增函数,在区间[π6,π2]上为减函数,f(0)=1,f(π6)=2f(π2)=-1,所以函数在区间[0,π2]上的最大值为2,最小值为-1.　　三、有关三角函数图象性质问题此类题目综合性强,可能是三角函数与函数的结合,也可能是与向量、不等式或导数的结合.考查多种知识的交汇,处理此类问题,要求三角函数知识基础扎实,也需其他方面知识灵活运用.　　四、三角函数复习建议1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同解三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义.3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义.6.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,结合平面几何的性质寻找边角关系,要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用,掌握三角形面积公式的多种计算方法.