1.5全微分方程及积分因子-.

常微分方程绵阳师范学院11.5全微分方程及积分因子常微分方程绵阳师范学院2则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuudyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu1.5.1全微分方程常微分方程绵阳师范学院3定义1使得若有函数),,(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(则称微分方程)1(,0),(),(dyyxNdxyxM是全微分方程（或恰当方程.）.),()1(cyxu的通解为此时0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程.如0ydxxdy)(xyd)(23xyyxd))()((ydygxdxfd常微分方程绵阳师范学院4需考虑的问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?方程为恰当方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(RyxNyxM)1(,0),(),(dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是).2(,),(),(xyxNyyxM)1(,0),(),(dyyxNdxyxM常微分方程绵阳师范学院5证明“必要性”设(1)是恰当方程,使得则有函数),,(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),,(yxMxu),(yxNyu从而,2yMxyu.2xNyxu从而有都是连续的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM常微分方程绵阳师范学院6“充分性”，xyxNyyxM),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y满足则需构造函数),,(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即应满足)5(),,(yxMxu)6(),,(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu常微分方程绵阳师范学院7,)(的任意可微函数是这里yyyu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd,)7(无关的右端与下面证明x的偏导数常等于零即对x事实上]),([dxyxMyNx]),([dxyxMyxxN)6(),,(yxNyu即同时满足使下面选择),6(),(uydyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu常微分方程绵阳师范学院8]),([dxyxMxyxNyMxN.0积分之得右端的确只含有于是,)7(,y,]),([)(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,]),([dydxyxMyN(8)。yxu为恰当方程从而存在即)1(,),()7(),()(dxyxMyNdyyd注:若(1)为恰当方程,则其通解为为任常数ccdydxyxMyNdxyxM,]),([),(常微分方程绵阳师范学院9恰当方程的求解.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由例1验证方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.1不定积分法常微分方程绵阳师范学院10解:.sin2),(,),(yxyxNyeyxMx由于1),(yyxM故所给方程是恰当方程.满足由于所求函数),(yxu,yexux,sin2yxyu积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义xyeyx,,)()(),(ydxyeyxux).(yyxex,),(xyxN常微分方程绵阳师范学院11).(),(yyxeyxux应满足的方程为得求偏导数关于对)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(积分后得:,cos2)(yy故.cos2),(yyxeyxux从而方程的通解为.cos2cyyxex常微分方程绵阳师范学院12采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如:xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd2分组凑微法常微分方程绵阳师范学院13例2求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:,46),(,63),(3222yyxyxNxyxyxM由于xyyyxM12),(故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或写成0)3(2243yxyxd故通解为:。ccyxyx为任常数,32243,),(xyxN常微分方程绵阳师范学院14例3验证方程,0)1()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:),1(),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxM这里yyxM),(故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得,0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd,0xy2,),(xyxN常微分方程绵阳师范学院15,0)(sin2222yyxxd或写成故通解为:,sin2222cyyxx得由初始条件,2)0(y,4c故所求的初值问题的解为:.4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd常微分方程绵阳师范学院16定理1充分性的证明也可用如下方法:,),(),(xyxNyyxM由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:，yxudyyxNdxyxM的全微分为某函数),(),(),(使即有函数),,(yxu,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu。为恰当方程从而)1(3线积分法常微分方程绵阳师范学院17则取这时,),(,00RyxxxdxyxM0),(0从而(1)的通解为。ccdyyxNdxyxMyyxx为任常数,),(),(00000,xy,xy常微分方程绵阳师范学院18例4求解方程.0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:,2sin),(,2cos),(2yyexxyxNxexyyxM由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所给方程是恰当方程.,),(),,(全平面上连续在由于yxNyxM则故取),0,0(),(00yx(x,y)(0,0)常微分方程绵阳师范学院19yxdyyxNdxxM00),()0,(xxdx022xyydyexx02)2(sinyexxyy2)1(sin2.,2sin2为任常数ccyexxyy故通解为:.2sin2yexxyy),()0,0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu,2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM(x,y)(0,0)常微分方程绵阳师范学院20非恰当方程如何求解?对变量分离方程:,0)()(dxyxfdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(1y,0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10))((1.5.2积分因子常微分方程绵阳师范学院21对一阶线性方程:,0))()((dxxQyxPdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(dxxPe,0))()(()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP即dxxPyed)(())()(dxexQdxxP,0是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.常微分方程绵阳师范学院221定义使得如果存在连续可微函数,0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程yx例5解:对方程有),(),(yxMyx332243yxyx)1(,0),(),(dyyxNdxyxM常微分方程绵阳师范学院23由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx,),(后为恰当方程故所给方程乘于yx.),(是其积分因子所以yx后得对方程两边同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分项组合”得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx常微分方程绵阳师范学院24也即0)(3423yxyxd故所给方程的通解为:。ccyxyx为任常数,3423积分因子的确定:0),(),(),(充要条件是的积分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN常微分方程绵阳师范学院25)(xNyMyMxN.0),(),(),,(,),(更困难方程一般来说比直接解微分要想从以上方程求出程为未知函数的偏微分方上面方程是以dyyxNdxyxMyxyx尽管如此,方程)(xNyMyMxN还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.常微分方程绵阳师范学院26则的积分因子有关存在仅与如果方程),(),(0),(),(xyxxyxNdxyxM这时方程,0y)(xNyMyMxN变成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,有关由于上式左侧仅与x,的函数的微分所以上式右侧只能是x常微分方程绵阳师范学院27是的积分因子的必要条件赖于有一个仅依从而微分方程xyxNdxyxM0),(),()10(,)(NxNyM此时求得积分因子NxNyMx)()(这里,)()(dxxex.),(无关而与的函数只是yxx.),()10(无关而与的函数只是若yxx,)()(dxxex则。dyyxNdxyxM一个积分因子是方程0),(),(NxNyMx)()(这里常微分方程绵阳师范学院28定理微分方程是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于x,)(NxNyM的积分因子为这时有关仅与)1(,x,)()(dxxexNxNyMx)()(这里常微分方程绵阳师范学院29充要条件是的积分因子的有一个仅依赖于微分方程同理y)1(,,)(MxNyM的积分因子为这时有关仅与)1(,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy这里常微分方程绵阳师范学院30例6求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM这里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰当方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有关的积分因子故方程有一个仅与无关它与xy,)(x常微分方程绵阳师范学院31