数理金融

课程论文数理金融姓名:周福平学号：200902034063学科专业：金融数学任课教师：杨树成成绩：中国重庆2011年12月1马科维茨投资组合模型实证分析摘要：本文选用30支中国沪、深交易所上市的A股股票，根据马科维茨研究的均值-方差模型，利用matlab、lingo软件，计算出了收益率为5%，10%，15%，20%和25%，5种情况下，风险最小时的投资组合。关键词：股票马科维茨投资组合模型无风险资产一、数据的收集与处理1.1数据的收集本文数据来自于中国沪、深交易所上市的30只A股股票2001－2011年的期末股价。其中2001－2010的期末股价为每年12月的最后一个交易日的收盘价，2011年的期末股价为11月21日的收盘价。,ija表示第i年的第j列股票的价格，,,1,,ijijijaaia＝1,2,...,10,j=1,2,...,31，得到了处理后的数据见附录一，同时把数据放在data0.txt中。二、模型的假设1.某一持仓时间内的证券收益的概率分布已知。2.投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。3.投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。4.在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。三、马科维茨投资组合模型实证分析3.1变量的设计记()(131)Rjj表示第j列对应的股票的年收益，()Rj是一个随机变量，用E和D分别表示随机变量的数学期望和方差算子，用cov表示两个随机变量的协方差矩阵。3.2均值向量和协方差的计算投资者选用资产组合的规律是:给定的期望收益率E(rp),选择资产组合使其风险最小,均值-方差组合的模型如下:2{}1min2tWWVWs.t.=WtR=E(rp)s.t.=WtI=1其中Wt=（w1，w2，…wn），Rt=(E(r1)，E(r2)…E(rN))，It=（1，1…1）.利用上式计算出的Wt就是我们需要的投资组合.模型中的期望收益率，方差及协方差矩阵。计算公式如下：以样本均值来表示期望收益率：E(ri)≡1/n(1ntitr)样本方差：2≡1/(n-1)1ntnr(E(ri)-rit)2样本协方差：Cov（ri，rj）=1/(n-1)1(())(())niitjjtiErrErr其中i为投资股票的个数,rit为第i支股票的t时期的收益率.E(ri)为上式求出的第i支股票期望收益率。另I=(1,1,…,1)t,R=(E(r1),E(r2),…,E(rn)),W=(w1,w2,…，wN)t建立均方资产组合选择模型并求解.因为是不含无风险资产的情况,所以首先,计算常数:A=ItV-1R=RtV-1I其中V表示协方差矩阵.B=RtV-1R,C=ItV-1I,D=BC-A2目标为:minV最小方差投资组合,给定的期望收益率为5%、6%，利用两基金分离定理计算:Wp=Wd+(1-)Wg；其中的=A=A(CE(rp)-A)/D,A、C、D、E均为上面不分求出的矩阵。首先计算切点的均方有效资产组合1()fefVRrIWACr。继而将0.05、0.06的期望收益率E(rP),带入其中计算得Wp=We，其中=(())()pftfNErrRrII在这里，我们利用lingo直接求解计算出投资组合。运用lingo11.0编程求出均值向量()ERi和协方差矩阵cov;均值向量：1011()()10iERiRi协方差矩阵：cov[((,)())(((,)())]RisERiRjsERj，其中这里1,2,...,10s表示年数。3现将附录2中的数据放在data0.txt中，计算的lingo程序如下：Title均值向量Mean与协方差矩阵COV;SETS:YEAR/1..10/;STOCKS/1,2..30/:Mean;link(YEAR,STOCKS):R;temp/1..31/;tmatrix(YEAR,temp):tm;STST(Stocks,stocks):COV;ENDSETSDATA:tm=@file(data0.txt);@text(data1.txt)=R;@text(data2.txt)=Mean;@text(data3.txt)=COV;ENDDATACALC:!计算均值向量Mean与协方差矩阵COV;@for(tmatrix(i,j)|j#ge#2#and#j#le#31:R(i,j-1)=tm(i,j)-1);@for(stocks(i):Mean(i)=@sum(year(j):R(j,i))/@size(year));@for(stst(i,j):COV(i,j)=@sum(year(k):(R(k,i)-mean(i))*(R(k,j)-mean(j)))/(@size(year)-1));ENDCALCEND由运行结果可得，均值向量：ER＝(0.22284140.1279672-0.0446095-0.01019610.17071150.23251560.27912370.02100390.16417250.09669860.32838420.15355110.1581919-0.09605630.15276450.15997550.2696730.17287430.4661850.22333610.38346930.17618540.14456990.27760010.32144290.26167980.09091460.17994980.24120420.1142274);由于协方差cov数据过多，就将其放在附录2里，详细数据见附录2。3.3马科维茨投资组合模型的建立用决策变量()(130)xii表示第i只股票的投资比例，假设市场上没有其他投资渠道，且手上资金（可以不妨假设只有1个单位的资金）必须全部用于投资这30种股票，则：301()0,()1ixixi；总的期望收益率为：301()iiERxERi；年投资收益率的总的方差为：301(())iiVDxERi303011cov((),())ijiixxERiERj马科维茨确立了证券组合预期收益、风险的计算方法，为了使在收益一定的时候风险最4小，建立了以下资产优化配置的均值—方差模型：目标函数：minV约束条件：s.t.3011iix；ERr，r为投资者要求的最低年收益率；为了求得最优组合，下面以lingo11.0编程进行求解：计算的lingo程序如下：MODEL:SETS:YEAR/1..10/;STOCKS/1,2..30/:Mean,X;link(YEAR,STOCKS):R;STST(Stocks,stocks):COV;ENDSETSDATA:TARGET=?;Mean=@file(data2.txt);COV=@file(data3.txt);ENDDATA[OBJ]MIN=@sum(STST(i,j):COV(i,j)*x(i)*x(j));[ONE]@SUM(STOCKS:X)=1;[TWO]@SUM(stocks:mean*x)=TARGET;Lingo程序中TARGET=r,TARGET=?表示运行程序后输入TARGET的值0.10、0.15、0.20、0.25，然后才求解。针对不同的TARGET值，我们得到了不同情况下的最优组合见下表：预期收益率投资组合（所占百分比）5%澄星股份明星电力特变电工61.47%22.25%16.28%10%澄星股份明星电力人福医药特变电工38.68%30.23%4.29%26.79%15%澄星股份明星电力人福医药特变电工新疆天业16.03%8.07%24.16%42.25%9.49%20%人福医药上海汽车特变电工新疆天业30.40%4.91%46.60%18.09%25%人福医药上海汽车特变电工新疆天业30.40%4.91%46.60%18.09%表一53.4用MATLAB软件对模型进行参数分析对实际投资人来说，可能不仅希望知道指定的期望投资回报率下的风险（回报率的方差）可能更希望知道风险随着不同的投资回报率是如何变化的，然后作出最后的投资决策，对求得的每只股票的期望收益，得到最大为63.4%，最小为5.0%，运用matlab编程，计算的matlab程序如下：loaddata2.txt,loaddata3.txth=reshape(data3,[30,30]);a=data2';solution=[];target=0.05;holdonwhiletarget0.634[x,y]=quadprog(2*h,[],-a,-target,ones(1,30),1,zeros(30,1));plot(target,y,'*b');solution=[solution[target;x;y]];target=target+0.002;endsolution得到的投资回报率与风险之间的关系曲线如图一所示：00.10.20.30.40.50.60.700.511.522.5图一投资回报率与风险之间的关系6四、模型的缺点：1.风险资产的收益率的分布未知，估计的期望收益率，方差，协方差都具有一定的系统误差；2.均方未必有效，我们所求的的均方，方差等为过去时段所收集的数据计算而来，不能反应未来的变幻因素；3.正如前面所说，如果严格按照模型计算，需要有很多的假设，但是模型的假设与实际不符，实际市场不能卖空，且存在摩擦。诸多因素不确定导致了其结果的不准确性参考文献【1】戴晓凤，晏艳阳.现代投资学———组合投资分析与管理.长沙：湖南人民出版社，2002【2】杨海明，王燕.投资学.上海：上海人民出版社，2000【3】林功实.个人投资理财.北京：清华大学出版社，2003附录附录一：时间st华光st金花st明科百科集团澄星股份东风科技凤凰光学广州控股哈高科海泰发展20020.7110.6910.6610.6480.7840.5760.8160.7110.6630.87520030.8440.7390.9080.6340.5320.8430.8031.0290.7350.95020040.4940.7510.7860.8411.0460.4271.0600.7530.7540.44820050.6510.6960.7490.8700.8230.4120.6210.4870.7800.74920060.6861.0141.0761.3071.2651.5101.6771.3971.1132.31220074.1772.6151.9561.6231.9862.1941.7472.3382.5742.20120080.3120.3070.3590.3950.5090.4050.3350.3530.3880.31520094.0752.5712.7973.6601.4442.5482.4771.5612.3011.53520100.6281.2490.7140.6690.9141.4851.6041.1301.5830.68820111.0531.1670.8331.1701.2680.7440.7090.7500.6850.836时间开创国际莱钢股份林海股份美尔雅明星电力啤酒花青山纸业人福医药上海梅林上海汽车20020.7820.7490.6740.6900.7691.1260.7660.7000.8080.93320030.6381.1421.1210.7521.2230.2070.8760.5940.8962.01020040.8470.8540.3830.7130.5951.0280.8670.9011.1930.34520050.7540.7430.7800.8160.4810.9190.6700.7210.5040.69720061.0351.3781.2861.8531.5031.5291.2071.5931.2032.46820073.7663.2403.1165.2441.6132.6222.7641.7101.8903.21820