第2讲空间点、线、面的位置关系高考定位1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断,主要以选择、填空题的形式,题目难度较小;2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明,并常与几何体的表面积、体积相渗透.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()解析法一对于选项B,如图(1)所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1)图(2)法二对于选项A,其中O为BC的中点(如图(2)所示),连接OQ,则OQ∥AB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行.A项中直线AB与平面MNQ不平行.答案A2.(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334B.233C.324D.32解析如图,依题意,平面α与棱BA,BC,BB1所在直线所成角都相等,容易得到平面AB1C符合题意,进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.由对称性,知过正方体ABCD-A1B1C1D1中心的平面面积应取最大值,此时截面为正六边形EFGHIJ.正六边形EFGHIJ的边长为22,将该正六边形分成6个边长为22的正三角形.故其面积为6×34×222=334.答案A3.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.(1)证明∵∠BAP=∠CDP=90°,∴AB⊥PA,CD⊥PD.∵AB∥CD,∴AB⊥PD.又∵PA∩PD=P,PA,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD.∵AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.(2)解取AD的中点E,连接PE.∵PA=PD,∴PE⊥AD.由(1)知,AB⊥平面PAD,PE⊂平面PAD,故AB⊥PE,又AB∩AD=A,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x,故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13AB·AD·PE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=22,PB=PC=22,可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC2sin60°=6+23.考点整合1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.热点一空间点、线、面位置关系的判定【例1】(2018·成都诊断)已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊂α,n⊂β.有下列命题:①若α∥β,则m∥n;②若α∥β,则m∥β;③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,则α⊥β;④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,则α⊥β.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①若α∥β,则m∥n或m,n异面,不正确;②若α∥β,根据平面与平面平行的性质,可得m∥β,正确;③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,则α与β不一定垂直,不正确;④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,l与n不一定相交,不能推出α⊥β,不正确.答案B探究提高1.判断与空间位置关系有关的命题真假的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.2.两点注意:(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中;(2)当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断.【训练1】(1)(2018·石家庄调研)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是()A.B,C,A1B.B1,C1,AC.A1,B1,CD.A1,B,C1(2)(2018·菏泽模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,n∥β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n解析(1)在棱台中,AC∥A1C1,l∥A1C1,则l∥AC或l为直线AC.因此平面α可以过点A1,B,C1,选项D正确.(2)结合长方体模型,易判定选项A,B,C不正确.由线面垂直的性质,当m⊥α,n⊥α时,有m∥n,D项正确.答案(1)D(2)D热点二空间平行、垂直关系的证明【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD,而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD,AD⊥CD,由(1)知PA⊥底面ABCD,且CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF.∴CD⊥EF,又BE⊥CD且EF∩BE=E,∴CD⊥平面BEF,又CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.【迁移探究1】在本例条件下,证明平面BEF⊥平面ABCD.证明如图,连接AC,设AC∩BE=O,连接FO,AE.∵AB∥CD,CD=2AB,CE=12CD,∴AB綉CE.∴四边形ABCE为平行四边形.∴O为AC的中点,又F为PC的中点,则FO∥PA,又PA⊥平面ABCD,∴FO⊥平面ABCD.又FO⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面ABCD.【迁移探究2】在本例条件下,若AB=BC,求证:BE⊥平面PAC.证明连接AC,设AC∩BE=O.AB∥CD,CD=2AB,且E为CD的中点.∴AB綉CE.又∵AB=BC,∴四边形ABCE为菱形,∴BE⊥AC.又∵PA⊥平面ABCD,又BE⊂平面ABCD,∴PA⊥BE,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BE⊥平面PAC.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.【训练2】(2018·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,且PD⊂平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=12BC.因为ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=12BC.所以DE∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.热点三平面图形中的折叠问题【例3】(2016·全国Ⅱ卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明:AC⊥HD′;(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD′=22,求五棱锥D′-ABCFE的体积.(1)证明由已知得AC⊥BD,AD=CD,又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF,由此得EF⊥HD,故EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.(2)解由EF∥AC得OHDO=AEAD=14.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4,所以OH=1,D′H=DH=3,于是OD′2+OH2=(22)2+12=9=D′H2,故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′,又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC=DHDO得EF=92.五边形ABCFE的面积S=12×6×8-12×92×3=694.所以五棱锥D′-ABCFE的体积V=13×694×22=2322.探究提高1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化,不在同一个平面上的图形的性质发生变化.2.在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.【训练3】(2018·全国Ⅰ卷)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.(1)证明由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.又BA⊥AD,AC∩AD=D,AC,AD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=AM=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QE⊥AC,垂足为E,则QE綉13DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×22sin45°=1.1.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:(1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线