2011数学建模竞赛C题论文

1企业退休职工养老金制度的改革研究摘要近年来，随着我国快速进入老龄化社会，退休后的养老金问题已经成为了人们的焦点问题。本文基于山东省的一系列统计数据，对养老保险中的替代率及资金缺口问题进行了分析。针对问题一，根据我国经济发展的实际情况并结合经济发展的中长期发展目标，我们认为工资增长率今后应该是逐年递减的，并在某个时间达到较稳定的状态，故我们采用了阻滞增长模型，利用MATLAB对问题所提供的山东省职工历年平均工资统计表中的数据进行拟合，预测出了2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。针对问题二，我们利用EXCEL这个工具来进行计算，对各年龄段工资进行分析统计，计算出了题目提出的各种情况下的替代率，分别是30岁到55岁为34%，到60岁为42%，到65岁为60%；40岁到55岁为21%，到60岁为29%，到65岁为39%，并对结果进行分析，得出当开始缴费的年龄相同时缴费年限越高，替代率越高；当缴费年限相同时，开始缴费的年龄越晚，替代率越高。针对问题三，根据该企业某职工不同的退休年龄的情况，同样利用EXCEL进行计算并得到结果，当他是55岁或60岁时退休，这两种情况就会存在缺口问题，当他是65岁退休时就不存在缺口问题，我们同时也计算出该职工若55岁退休，到69岁的时候，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，若是60岁退休则会推迟到73岁达到收支平衡。结合问题二，我们可知，当替代率越高，则缺口越小。针对问题四，我们给出了替代率与工资增长率、资金收益率、缴费率及缴费年限等影响因素的函数表达式，由该函数很容易看出替代率是缴费年限及资金收益率的增函数，从而可以通过提高投资收益率或增加缴费年限的方式来达到预期目标。关键词养老金替代率阻滞增长模型收支平衡2一、问题重述1.1养老金简介养老金也成退休金，是一种根据劳动者对社会所贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式,即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按缴费指数，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金，即基础养老金，加上个人账户养老金，作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。1.2如何发放养老金养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期.老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率.率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。然后根据附件1，附件2和附件3建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险金，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二、模型假设1.每次缴养老金都是由每年的一月一号一次缴一年的；32.企业职工退休后个人账户存储额不考虑银行的利息；3.不考虑自然灾害、经济危机等外界因素的影响；4.企业职工d的出生日期为每年1月1日；5.职工的整个职业期间的工资增长是均衡稳定的，且等于当地职工的平均工资的增长率w。6.退休以后在个人账户和社会统筹基金账户的增长率忽略加未退休前的增长率。三、符号说明na：各年龄段职工工资A：2009年该企业总工资nA：各年龄段总工资（n=1、2、3…9）b：该企业平均工资nb：企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比（n=1、2…9）B：本人指数化月平均缴费工资1B：本人平均缴费指数c：该企业总人数jc：各年龄段总人数d：养老保险基金的缺口情况D：个人账户缴费率1D：社会统筹基金缴费率E：计发月数i：从1978年开始以后的年份（i1、2、3……）k：替代率K：亏空项L:余名（退休以后统计的可以获得平均寿命）m：缴费年限im：省每年在岗职工月平均工资（i1、2、3……）p：养老金1p：基础养老金2p：个人账户养老金Q：起始交费时的工资r：个人账户增长率1r：社会统筹基金账户增长率S：本人平均缴费指数工资is：每年本人缴费工资（i1、2、3……）iS：个人账户总存储额（i1、2、3……）t：养老保险基金与领取的养老金收支平衡时职工的岁数iT：社会统筹基金账户里的钱数w：当地职工的平均工资的增长率Ni：i年的平均工资4mN：在一定的自然环境条件下可以增长的最大年均工资ri：阻滞增长模型中，年平均工资在i年的增长率GT：个人账户的替代率nja：各年龄段不同月收入范围人数（n为年龄段、j为不同月收入范围，n=1、2、3…9,j=1、2…8）四、问题的分析养老金是现代社会一种最主要的养老保险待遇。国家有关文件规定，在劳动者年老或丧失劳动能力后，更具他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。对于中国养老保险的现状来说，自20世纪90年代以来，中国加快建立以社会统筹与个人账户相结合的城镇职工基本养老保险为主体的社会养老保障体系，覆盖范围不断扩大，社会保险基金和财政投入规模持续增长，社会化养老保障体系不断完善，但是，面对日益严重的老龄化问题，我国的社会养老保障体系还不健全，制度运行还需要进一步完善。胡锦涛在十七大报告中指出“保障人民基本生活，达到老有所养，老有所依”。第一问：1先要查阅相关资料，对中国的经济发展的工资增长形势作出合理的假设；2对题目给的山东省职工历年平均工资统计表利用MATLAB进行数据拟合，得到职工平均工资与年份的函数关系式，然后对2011年至2035年的山东省职工的年均工资进行预测。第二问：1对附件2中的每个月收入范围段取平均值，对小数点后的数采用逢五进一的方法进行处理，得到每个年龄段职工工资和该企业平均工资，再求它们的比值；2由题目知企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），得到6种情况（30岁到55岁、30到60岁、30岁到65岁、40岁到50岁、40岁到60岁、40岁到65岁），再分别求出6种情况下的养老金替代率。第三问：1根据题目意思可得，从开始交养老保险一直到退休，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡，有3种情况，在这个问题中，我们认为该职工退休后个人账户中的资金不考虑银行利息，分别计算每种情况下的养老保险基金的缺口情况；2要使缴存的养老保险基金与其领取的养老金至间达到收支平衡，既养保险基金的收入近似的等于养老金的发放，养老基金的收入来自该职工每年缴到社会统筹基金账户中的钱数和缴到个人账户中存到银行的本金和利息，养老金是该职工退休后直至死亡的过程中发给职工的钱数，当收支平衡时，可以算出该职工领取养老金到多少岁？第四问：职工养老金的替代率分为两个部分，由于两个部分的计算公式得两个部分的替代率由于不同因素共同影响所以进行分开考虑。一个为个人账户养老金的替代率，由个人账户替代率公式得知影响其替代率有三个因素分别为缴费年限、个人帐户缴费率和不可控因素职工工资平均增长率。第二个部分为社会统筹养老金替代率，由社会统筹养老金替代率公式得知其替代率由缴费年限影响。满足了替代率的要有可能造成社会代价太大造成大规模的亏空。所以还要对支出和收入进行分析高替代率可能造成的支出远远大于收入，本题要求最好支出等于收入，所5以替代率和收支差存在矛盾，建立模型找出满足收支差和替代率最佳方案。五、模型建立与求解1、问题一：未来中国经济发展形势会越来越好，逐渐趋于平缓；未来中国的工资增长形势会越来越小，逐渐趋于平缓。先画出散点图分析其散点图，如图1的光华程度判断建立模型拟合。从图像可看出2000年以前的数据分布不规则且波动性较大，可以从图中看出94年到97年的增长率发生突变。图1散点图表1每年的工资增长率如下年份19791980198119821983198419851986198719881989增长率(%)11.617.81.31.82.624.812.618.28.724.77.7年份19901991199219931994199519961997199819992000增长率(%)11.96.613.421.137.718.612.97.449.8211.714.6年份2001200220032004200520062007200820092010增长率(%)14.113.610.414.015.915.718.815.812.418.0通过对图1、表1的分析，我们很容易发现2000年之前的增长率波动大、不规则，从百分之几到百分之二十几都有，但从2000年开始年增长率基本维持在13%左右。同时因为改革开放的原因造成近30年来我国经济发展迅速，工资增长率直线上升；而发达国家因为经济发展趋于稳定，所以造成工资增长率比较低。并且我国经济发展的战略目标表示，要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。因此职工的工资不可能出现无限增长，同时也会受到社会财富的限制，所以我们采取了阻滞模型。具体分析如下：最大职工平均工资应该是个常数，记为mN。当()Ni达到最大平均职工工资mN时，职工平均工资几乎不会增长，即mN=0；当平均职工工资超过mN时，应发生负增长。因此，一个国家的发达程度越高，它的平均职工工资提升空间就会越小。若将增长率r表示为N的函数，则它应为N的减函数。为此，可以假设rN是N的线形函数，即6,0,0.rNrsNirs由mrN=0，得rsNm。则职工平均工资增长率为：()1mmNirNrN，其中因子()1mNiN体现了对职工平均工资的阻滞作用，上式表明，增长率rN与职工平均工资尚未实现的部分的比例()1mNiN成正比，比例系数为固有增长率r。可以列出下面等式：00()1()mdNNirdtNNiN分离变量，得0()0()11mriimNNiNNe以2000年为起始点所以0N=8772，0i=2000。带入MATLAB进行拟合得到53.455710mN，r=0.1397.源程序见附录1图2阻滞拟合比较图从图2上可以看出其拟合效果比较好最小二乘法算的数值也在有效拟合范围内。1.0e+005根据表2很容易的可以看出随着时间的推移职工平均工资的增长率逐渐下降,最终会无限趋进于mN。对山东省职