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信号与系统实验报告实验四非周期信号的傅里叶变换实验四非周期信号的傅里叶变换一、实验目的傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MATLAB提供了专门的函数fft、ifft、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift用于实现对信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft、ifft以及fftshift函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。二、实验预备知识1.离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介设x(t)是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为2()()(1)jftXfxtedt显然X(f)代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X(f)是复数。而傅里叶逆变换定义为：2()()(2)jftxtXfedf因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x(t)进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列:(t－nT),n=0,1,2,…,N－1；可以实现上述目的，如图所示。其中N为采样点数，T为采样周期；fs=1/T是采样频率。注意采样时，采样频率fs必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。接下来对离散后的时域波形()()()()xtxttnTxnT的傅里叶变换()Xf进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的脉冲序列：(f－n/T0),n=0,1,2,…,N－1；T0=NT为总采样时间可以实现傅里叶变换()Xf的离散化，如下图示。不难看出，离散x(t)脉冲序列x(t)(t－nT)ttt后的傅里叶变换其频率间隔(频率轴上离散点的间隔，即频域分辨率)011(3)sffTNTN因此要增加分辨率须增加采样点数目N。频域上每个离散点对应的频率为:0;0,1,2,...,-1(4)snfnnfnnNTNTN显然n=0的点对应于直流成分。经过以上离散化处理之后，连续积分的傅里叶变换(1)式转变为如下离散形式：12/0()(),0,1,2,...,1(5)NjnkNnkkXfxtenN其中tk=kT（k=0,1,2,…,N-1）代表采样点时刻。X(fn)一般是复数，因此离散傅里叶变换(DFT)后变成一个N点（采样点数）的复数序列。X(fn)绝对值代表振幅，其幅角代表相位，因此由(5)式可以给出DFT的振幅频谱和相位频谱。(5)式通常又简写成如下形式：10()(),0,1,2,...,1(6)NnkNkXnxkWnN其中2/jNNWe，x是采样点数据，它是一个N个点的向量，DFT的结果X是N个点的复数向量。(5)式或(6)式就是对傅里叶变换进行数值计算的基础。一般采样点数N越大，DFT的结果越接近真实的情况，但是当N较大时，(6)式的计算量很大，因为使用计算机求解(6)式时，总共要执行N2次复数乘法和N×(N-1)次复数加法。所以直接用DFT算法（即(5)式）进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。为了减轻计算的压力，人们提出了一种所谓快速傅里叶变换(FFT)的思想：fff()Xf(f－n/T0)X(f)混迭取N=2m，首先将N个点的采样数据011[,,...,]Nxxxx分成两个N/2点的序列：1022[,,...,]Nxxxx（偶数序列）2131[,,...,]Nxxxx（奇数序列）这样处理的好处是可以把(6)式分解为两个N/2点的DFT，使计算量降下来。接下来再将N/2点的序列x1仿照上述做法进一步分裂成2个N/4点的序列x3和x4，另一序列x2亦做如此处理，分裂成2个N/4点的序列x5和x6。这样两个N/2点的序列分成了更短的4个N/4点的序列，依次类推，最后的结果是将一个N点的序列x裂成了N个点的单点序列：x0,x1,x2,…,xN-1。这样做可以将DFT的运算效率提高1－2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，从而推动数字处理技术的发展。由此可见FFT的思想实质是不断地把长序列的DFT计算分解成若干短序列的DFT，并利用旋转因子(即WN)的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。所以FFT就是DFT的快速算法。有关FFT算法的详细介绍和理论推导参见有关的书籍，这里不做进一步介绍。2.FFT的MATLAB实现为了实现快速傅里叶变换，MATLAB提供了fft、ifft、fft2、ifft2以及fftshift函数，分别用于一维和二维离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换。借助这些函数可以完成很多信号处理任务。考虑到信号处理包含的领域很广泛，这里只介绍一维傅里叶变换及其逆变换函数。(1)fft函数该函数使用了快速算法来实现时域信号的离散傅里叶变换。常用的格式：Y=fft(x)Y=fft(x,m)Ｙ返回值（复数），返回m点的DFT序列，即(6)式左边的X；m计算时使用的数据点数（样本数）；x时域信号x(t)在采样点tk处的值，即(6)式右边的x；若实际采样点数目为Ｎ（m和Ｎ都须是２的幂次），则ｘ为Ｎ个元素（即长度Ｎ）的向量；若向量ｘ的长度小于m，那么计算时将自动在ｘ序列的后面补０；若ｘ的长度大于m，则ｘ自动截断，使之长度为m。对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数（m）最好与原信号含有的数据点数（即输入的样本数Ｎ）相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。两点说明：①关于FFT振幅频谱和相位频谱的计算由于傅里叶变换的结果一般是复数，所以对fft的结果取绝对值abs()可以得到振幅，即Amplitude=abs(Y)需要注意的是这样得到的幅值实际并非真正的信号振幅，因其值与FFT使用的数据点数N有关，但不影响分析结果，在IFFT（逆变换）时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将上述结果除以N/2即可。对fft的结果使用函数angle()可以得到相位的结果。但是使用angle函数计算复数的相角时，系统规定一、二象限的角为0；三、四象限的角为-0。因此若一个角度本来应该从0变到2，但计算得到的结果却是0～，再由-～0，在处发生跳变，跳变幅度为2，这就叫相位的卷绕。这种相位的卷绕会使得相频图不连续，呈现锯齿状，为了平滑相频图，通常要再使用unwrap()函数进行相位的解卷绕。因此FFT的相位频谱图应该如下实现Phase=unwrap(angle(Y))②FFT的振幅频谱具有对称性如下图所示。……fn：f轴01T02T0/22sNfT01NT0sNfT对称轴(Nyquist频率)负频部分正频部分FFT：00,(0,1,2,...,1)nsnnnffnNTNTN为频率轴上的频率点。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内（共N/2+1个频率点）的幅频特性。(2)fftshift函数其作用是将零频点移到频谱的中间（即Nyquist频率处），使用格式：Y=fftshift(X)X是向量，该命令将零频点移动到频谱X的中间，并交换频谱X的左右两半。将零频点放到频谱的中间对于观察傅立叶变换是有用的。例１：对时域信号()0.5sin(215)2sin(240)xttt进行频谱分析。fs=100;%采样频率2倍的信号频率N=256;%采样点数目（=2的幂次）n=0:N-1;%构造采样点序列t=n/fs;%得到采样时间序列，t=nT=n/fsx=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);%产生时域信号的样本值，向量Y=fft(x,N);%N点的DFT计算mag=abs(Y);%FFT的振幅phase=unwrap(angle(Y));%FFT的相位%1.以下绘制物理频谱图（即正频部分）fn=(0:N/2)*fs/N;%频率轴上的离散频率点，起始于0频(对应直流成分)，终%于Nyquist频率fs/2，共N/2+1个频率点subplot(2,2,1)%将图形窗口分割为2×2的子窗口，并指定第1个子窗口为绘图区plot(fn,mag(1:N/2+1))%取出前N/2+1个振幅作图，即正频率分量xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');title('图1：物理(正频)幅频图');gridon%加网格线%2.以下绘制全频率的幅频图fn1=(0:N-1)*fs/N;subplot(2,2,2)%指定第2个子窗口为绘图区plot(fn1,mag);xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');title('图2：全频率的幅频图');gridon%3.以下绘制正频部分的相频图subplot(2,2,3)%指定第3个子窗口为绘图区plot(fn,phase(1:N/2+1));xlabel('频率/Hz');ylabel('相位');title('图3：相频图');grid%4.以下移动零频点Y1=fftshift(Y);%fftshift移动频率零点，并将Y的左右两部分交换mag1=abs(Y1);%重新计算振幅fn2=fn1-fs/2;%零点移动到fs/2处，故需重新标记频率轴subplot(2,2,4);%指定第4个子窗口为绘图区，最终4幅图绘制在一张图上了plot(fn2,mag1);xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');title('图4：fftshift后的幅频图');grid运行结果如下：图说明：1是物理谱图(正频部分)，从中看到，该信号包含两个频率15Hz和40Hz。由于使用的采样频率fs=100Hz，所以Nyquist频率为50Hz，在图2中明显能看到整个频谱图关于Nyquist频率对称，不过Nyquist频率右边的谱图实际上是负频部分，没有意义。图4是fftshift之后的幅频图，由于它是图2结果的左右交换，因此图2右边变成了负频。另外，图中的振幅不是真实的信号振幅，从信号x(t)的表达式我们知道15Hz和40Hz这两种频率成分的振幅分别是0.5和2。要得到真实的振幅，只需要将程序中的mag除以N/2即可。(3)ifft函数执行离散傅里叶变换的逆变换，格式x=ifft(Y)或者x=ifft(Y,m)Y是FFT的输出结果，返回值x是时域上的结果，m仍然是计算使用的数据点数。在上例中若程序末尾使用:xx=ifft(Y,N)，则得到采样时刻点上，信号x(t)的样本值。三、实验内容及要求实验项目：给定采样频率51.2Hz及采样点数N=512，计算矩形函数101()01txtt的振幅频谱，并与理论计算结果对比。A.显然该信号x(t)是无限长的非周期信号，因此做FFT计算时必须先将信号x(t)截断为有限长度。令采样频率为fs，采样点数目N，则截断长度是：T0=N/fs(即总的采样时间)因此截断长度和采样点数目N成正比。对于无限长的非周期信号，截断长度应尽可能的大，以接近实际信号，避免结果失真；如果是周期信号，则要求截断长度为信号周期的整数倍，以免出现频谱的“泄漏”。若给定采样点数N=512，则时间采样序列可用向量t表示：t=(0:N-1)/fs，矩形函数x(t)的样本值可以使用MATLAB提供的符号函数sign（请使用helpsign命令查询sign函数的定义）来表示：x=0.5-0.5*sign(t-1)，然后使用fft命令即可获得DFT计算结果。B.根据(1)式不难算出上述信号x(t)的傅里叶变换的理论结果(精确值)：()