厦门大学参考答案--08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷

08-09学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷1厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院各系2008年级各专业信息科学与技术学院计算机科学系2008年级CST专业主考教师：林亚南、杜妮试卷类型：（A卷）2009.1.13特别说明：答案写在答题纸上一、单选题（32分.共8题,每题4分）1.下列说法错误的是___B____.A)若向量组123,,线性无关，则其中任意两个向量线性无关；B)若向量组123,,中任意两个向量线性无关，则123,,线性无关；C)向量组122331,,线性相关；D)若向量组123,,线性无关，则112123,,线性无关.2.设n维列向量12,,...,m()mn线性无关,则n维列向量12,,...,m线性无关的充要条件是___D____.A)向量组12,,...,m可由向量组12,,...,m线性表示；B)向量组12,,...,m可由向量组12,,...,m线性表示；C)向量组12,,...,m与向量组12,,...,m等价；D)矩阵12(,,...,)mA与矩阵12(,,...,)mB相抵.3.设线性方程组0Ax的解都是线性方程组0Bx的解，则__C__.A)()()rArB；B)()()rArB；C)()()rArB；D)()()rArB.4.设n阶方阵A的伴随矩阵*0A，非齐次线性方程组Axb有无穷多组解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系__B__.A)不存在；B)仅含一个非零解向量；C)含有两个线性无关的解向量；D)含有三个线性无关的解向量.5.下列子集能构成22R的子空间的是___B____.A)221{|||0,}VAAAR；B)222{|()0,}VAtrAAR；08-09学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷2C)2223{|,}VAAAAR；D)224{|,}VAAAAAR或.6.设V是数域K上的线性空间,V上的线性变换在基12,,...,n下的矩阵为A且||2A，若在基11,,...,nn下的矩阵为B,则||B___B___.A)2n；B)2；C)12；D)不能确定.7.设V是n维向量空间，和是V上的线性变换，则dimImdimIm的充分必要条件是_____D___.A)和都是可逆变换；B)Ker=Ker；C)ImIm；D)和在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8.设是线性空间V到U的同构映射,则下列命题中正确的有___D___个.(Ⅰ)为可逆线性映射；(Ⅱ)若W是V的s维子空间,则()W是U的s维子空间；(Ⅲ)在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ)若12V=VV,则1212)))(VV(V(V.A)1B)2C)3D)4二、填空题（32分.共8题,每题4分）1.若矩阵1234(,,,)A经过行初等变换化为1003002401050000,那么向量组1234,,,的一个极大无关组是12,3,,其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为4123352.2.设3维向量空间的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)，则向量(2,0,0)在这组基下的坐标为111.3.设1V，2V均为线性空间V的子空间，则12()LVV12VV.08-09学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷34.数域K上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是_3_.而122113312332,,EEEEEE是它的一组基.5.已知12K上的线性变换定义如下：((,))(0,)aba，则Ker={(0,)|}aaK.Im={(0,)|}aaK.6.设是数域K上n维线性空间V到m维线性空间U的线性映射,则为满射的充分必要条件是,,();Im;dimIm;dim;;.UVUmKernm对任意存在使得在任意基下的矩阵都是行满秩的在某个基下的矩阵是行满秩的（其中任两个均可）.（请写出两个）7.设12,,...,n和12,,...,n是线性空间V的两组基，从12,,...,n到12,,...,n的过渡矩阵为P.若是V上的线性变换且,()ii1,2,...,in，则在基12,,...,n下的表示矩阵是_P_.8.设是线性空间V上的线性变换，在基12,,...,n下的表示矩阵为0ABC，其中A为rr矩阵，则存在V的一个非平凡-不变子空间1(,,)rL.三、(8分)设线性空间V的向量组12,,...,m线性无关，V，考虑向量组12,,,...,m.求证：或者该向量组线性无关，或者可由12,,...,m线性表示.证明：若1,,,m线性相关，则存在不全为0的数01k,k,,km使得011k+k+k0mm．我们断言，0k0．事实上，若0k=0，则11k+k0mm．由12,,...,m线性无关知1mk==k=0．于是，01mk=k==k=0．这与01k,k,,km不全为０相矛盾．因此，0k0．此时，1100mmkkkk．从而，或者该向量组线性无关，或者可由12,,...,m线性表示．四、(10分)设1V,2V分别是数域K上的齐次线性方程组12nxxx与120nxxx的解空间.证明112nKVV.08-09学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷4证明：法一：一方面，1212naaVVa，有12120nnaaaaaa，则120naaa．故120VV．另一方面，121nnaaKa，存在111niiniianVan,1121niiniinaanVaan，使得12naaa＝11niiniianan＋111niiniinaanaan即112nKVV．因此，112nKVV．法二：一方面，1212naaVVa，有12120nnaaaaaa，则120naaa．故120VV．另一方面，由于1V为方程组0Ax的解空间，其中(1)110000110000011nnA，2V为方程组0Bx的解空间，其中1(1,1,,1)nB，所以12dim1,dim1VVn．故112dimdimdimnVVK．从而，112nKVV．法三：一方面，由于1V为方程组0Ax的解空间，其中(1)110000110000011nnA，2V为方程组0Bx的解空间，其中1(1,1,,1)nB，所以12dim1,dim1VVn．故112dimdimdimnVVK．08-09学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷5另一方面，121nnaaKa，存在111niiniianVan,1121niiniinaanVaan，使得12naaa＝11niiniianan＋111niiniinaanaan即112nKVV．因此，112nKVV．五、(10分)设mnAK.证明：()rAr的充分必要条件是存在mrBK，rnCK，使得()()rBrCr且ABC.证明：充分性：由于mrBK，rnCK满足()()rBrCr且ABC，所以()()()()()rrBrCrrArBCrBr故()rAr．必要性：由于()rAr，所以存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使得000rIAPQ．令,(,0)0rrIBPCIQ，则mrBK，rnCK满足()()rBrCr且ABC．六、(8分)设V,U,W是有限维线性空间，:VU，:WU是线性映射.求证：存在线性映射:VW使得的充分必要条件是ImIm.证明：充分性：法一：取V的一组基12,,,n，由于ImIm，所以()Imi，1in，即存在iW使得()()ii．定义线性映射:VW满足(),1iiin，则()()(),1iiiin．因此，．法二：取V的一组基12,,,n，U的一组基12,,,m，W的一组基12,,,s．设1212(,,,)(,,,)nmmnA1212(,,,)(,,,)smmsB08-09学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷6其中1212(,,,),(,,,)nsAB．由于ImIm，所以1212(,,,)(,,,)nsLL，即11,sjijiijnc．取()ijsnCc，则ABC．定义线性映射:VW满足1212(,,,)(,,,)nsC，则.必要性：对任意Im，存在V使得()．由于，所以()(())Im从而，ImIm．附加题:(本部分不计入总分)设V,U,W是有限维线性空间且dimdimVW，:VU，:WU是线性映射.证明：存在可逆线性映射:VW使得的充分必要条件是ImIm.证明：充分性：法一：由于dimdimVW且ImIm，所以由维数公式知：dimdimKerKer．取Ker的一组基12,,,r；Ker的一组基12,,,r，将其扩充为V的一组基121,,,,,rrn，则1(),()rn是Im的一组基．由于ImIm，所以1(),()rn是Im的一组基．设()(),1iirin，由于1(),,()rn线性无关，所以1,,rn线性无关．我们断言，121,,,,,,rrn线性无关．事实上，若1122110rrrrnnkkkkk，则将作用于上式得11()()0rrnnkk．由于1(),,()rn线性无关，所以10rnkk．于是1122rrkkk＝０．又12,,,r是Ker的一组基，故10rkk从而，121,,,,,,rrn线性无关．注意到dimWn，故121,,,,,,rrn是W的一组基．定义线性映射:VW满足(),1iiin．由于12,,,n是V的一组基，12,,,n是W的一组基，故可逆．又()()(),1iiiin，从而．法二：取V的一组基12,,,n，U的一组基12,,,s，W的一组基12,,,n．设1212(,,,)(,,,)nssnA1212(,,,)(,,,)nssnB08-09学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷7且d