第一学期矩阵论知识点复习

第一章：线性空间与线性变换一、线性空间的基本概念1、线性空间、维数、基、坐标二、子空间与维数定理1、子空间及常见子空间2、维数定理设V是线性空间，1V与2V是V的两个子空间，则121212dim()(dimdim)dim()VVVVVV。3、子空间的运算1V与2V是V的两个子空间,求12VV与12VV的维数和基4、直和及充要条件二、线性变换及其在某组基下矩阵1、线性变换的定义：设V是数域F上的线性空间，映射:TVV称为线性变换，若对于,,VF有()()(),()()TTTTT2、线性变换的矩阵表示设12,,n是线性空间V的一组基，T是V上的线性变换，则1212(,,)(,,)nnTA其中A称为T在基12,,n下的矩阵。注：同一线性变换在不同基下得矩阵相似。例：P21例1.4.5及P25例1.4.6第二章：内积空间一、正交补二、正交变换及其等价条件三、正规矩阵设nnAC，若HHAAAA则称A为正规矩阵。注：实对称阵、Hermite阵、正交阵、酉阵都是正规矩阵。设nnAC，A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。四、正定矩阵Hermite阵A为正定阵A的特征值全大于0。Hermite阵A为正定阵A的所有顺序主子式全大于0。Hermite阵A为正定阵det0A。五、谱半径设A是n阶矩阵，它的特征值的全体称为矩阵A的谱，称特征值模长的最大值为矩阵A的谱半径。第三章：矩阵的标准形一、smith标准形例求101120403A的smith标准形1331(1)(3)2101001120120403(1)00ccrrEA23121332(2)(1)(1)2210010002100100(1)0(1)(2)0ccrccrr213(1)210001000(1)(2)rcc二、Jordan标准形及其求法形如111iiiiiinn的方阵称为in阶的Jordan块，由若干个Jordan块组成的准对角阵12sJJJJ称为Jordan标准形。Jordan标准形的求法1.用初等变换法求矩阵A的Jordan标准形用初等变换求出A的Smith标准形，得到不变因子，由不变因子得到初等因子，再根据初等因子，给出Jordan标准形。例：101120403A，求A的Jordan标准形解：1331(1)(3)2101001120120403(1)00ccrrEA23121332(2)(1)(1)2210010002100100(1)0(1)(2)0ccrccrr213(1)210001000(1)(2)rcc故A的不变因子为2123()1,()1,()(1)(2)ddd初等因子为(2)，2(1)故A的Jordan标准形为200011001J2.用行列式因子方法先求行列式因子，然后利用1kkkDdD得不变因子，进一步得初等因子，最后由初等因子写出Jordan标准形。例：已知1234012300120001A，求A的Jordan标准形解：-1-2-3-40-1-2-300-1-2000-1EA行列式因子44()-(-1)DEA又三阶子式234-1234(+1)0-12，3-1230-12(1)00-1所以，行列式因子3()1D。则2()1D，1()1D故A的不变因子为41234()()1,()(1)ddddEA则A的初等因子为4(1)，故A的Jordan标准形为1100011000110001J。三、Cayley-Hamilton定理与最小多项式1、Cayley-Hamilton定理：设,(),nnACfEA则()0fA。P74例3.3.12、最小多项式：设nnAC，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。最小多项式的求法P76例3.3.2注：准对角阵的最小多项式为其诸对角块的最小多项式的最小公倍式第四章：矩阵的分解：一、矩阵分解1.LU分解利用初等行变换（不能进行行的交换）1(,)(,)(,)PAEPAPEUPAPULUP85例4.4.12.满秩分解将A通过初等行变换化为Hermite标准形P98例4.3.23.QR分解Schmidt正交化方法，Householder方法4.奇异值分解二、广义逆矩阵1.Moore-penrose逆的性质2.Moore-penrose逆的求法(1)满秩分解求广义逆设ABC为A的满秩分解，则111()()()HHHHHHHHACCCBBBCBACBP104例4.5.1(2)奇异值分解求广义逆第五章：范数理论及其应用一、几种常用向量范数与矩阵范数1.向量范数11njjxx（和范数或1l范数）12221njjxx（欧式范数或2l范数）1maxjjnxx（最大范数或l范数）2.矩阵范数111nnijmijAa，122,1()nHijFijAatrAA（F范数）,maxijmijAna（行范数）111maxnijjniAa（列范数），11maxnijinjAa（行范数）122()HAAA（谱范数），例：已知向量(,2,1,0,1),Hxii求12,,xxx。解：51142jjxx，12252122jjxx，15max2jjxx例：设210023120A，计算12,,,FAAAA。解31131max5,ijjiAa3131max5,ijijAa1223,123,ijFijAa因为500096069HAA，所以()15HAA，故122()15HAAA。P130练习5。二、范数的应用1、谱半径估计()AA，此处A为矩阵A的任意一种范数。2、极小范数最小二乘解P129例5.3.33、条件数通常使用的条件数P125第六章：矩阵分析及其应用一、向量和矩阵序列的极限例：已知()11121kkkkkAk，求()limkkA解：()101lim2kkAe二、矩阵序列{}kA幂收敛条件若对矩阵某一种范数1A，则lim0kkA，即矩阵序列{}kA幂收敛矩阵序列{}kA幂收敛当且仅当()1AP136例6.1.2三、矩阵幂级数1.矩阵幂级数收敛的充要条件及和函数设nnAC且幂级数0kkkaz的收敛半径为R，则当()AR时，矩阵幂级数0kkkaA收敛。特别地，当()1A时，矩阵幂级数0kkA收敛，且收敛的和为1()EA。例：当()Aa时，矩阵幂级数0kkkAa收敛，且收敛的和为1()AEa例：P141例6.1.52.矩阵函数的求法,sinAteA，待定系数法P148例6.2.4四、函数矩阵的微分和积分例：设tAetttttttttteeeeeeteeee2222223300044131212，则A=解：tAetttttttttteeeeeeteeee2222223300044131212两边对t求导得2222'22212112648020036ttttttAtAttttteeeteeeAeeeeee令上式中t=0，则214020031A例：设sincos()cossinttAttt，试求0(),()aAtAtdt解：()At=cossinsincostttt00000sincos1cossin()sin1coscossinaaaaatdttdtaaAtdtaatdttdt例：数量值函数求导P155例6.3.4例：矩阵值函数求导P158例6.3.9五、矩阵函数的应用线性齐次微分方程组的求解P159例6.4.1第七章：矩阵特征值的界1、特征值的圆盘定理设A是n阶复矩阵。在复平面上，称集合()|,1,2,,iiiijjiDAxCxaain为矩阵A的第i个圆盘。圆盘定理：设A是n阶复矩阵，则A的每个特征值都落在A的某个圆盘之内。例：令10.020.110.010.80.140.020.015A，500050001D。试用圆盘定理估计矩阵A的特征值分布范围，并在复平面上画出示意图；为了得到更精确的结果，请利用矩阵1DAD的盖尔圆盘来隔离矩阵A的特征值。解：（1）由矩阵盖尔圆的定义，易求A得三个盖尔圆分别为：123():|1|0.13;():|0.8|0.15;():|5|0.03DAzDAzDAz。（2）显然，三个盖尔圆有两个在复平面上相交。(图略)（3）令110.020.0220.010.80.0280.10.055BDAD。于是此时可进一步求得B的三个盖尔圆分别为：123():|1|0.042;():|0.8|0.038;():|5|0.15DBzDBzDBz。显然，此时三个盖尔圆两两不再相交。（4）因为~AB,所以矩阵A与B具有相同的特征值。所以矩阵A的特征值分布在三个孤立圆盘1()DB，2()DB，3()DB中。2、对角占优矩阵例：P172例7.1.2